Demostrar $x^ny(x - y) + y^nz(y - z) + z^nx(z - x) \ge 0$

Question

Demostrar la desigualdad con $x, y,z$ es de los lados de un triángulo y $n\in \mathbb Z \land n\ge2$ $${x^n}y(x - y) + {y^n}z(y - z) + {z^n}x(z - x) \ge 0 \tag 1$$

Puedo demostrar la desigualdad con $n=2$: $$(1)\iff x(y-z)^2(x+z-x) + y(x-y)(x-z)(x+y-z) \ge 0$$ o aplicar Ravi Sustitución: $$(1)\iff \frac {a^2}b+\frac {b^2}c + \frac {c^2}a \ge a+b+c\ $$ (siempre verdadera, por AM-GM)

Pero no puedo demostrar que el problema general por encima de

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Por favor, perdona mi gramática

Answer 1

Observe que $$x^ny(x - y) + y^nz(y - z) + z^nx(z - x)=\left|\begin{matrix}x^ny & y^nz & z^nx\\1 & 1 & 1\\z & y & x\end{matrix}\right|=(x^ny,y^nz,z^nx)\cdot\left((1,1,1)\times(z,y,x)\right)$$ Sin pérdida de generalidad, vamos a $x\geqslant y\geqslant z>1$, de lo contrario, podemos poner un escalar en $x,y,z$. A continuación, mediante la elaboración de los vectores $(x^ny,y^nz,z^nx),(1,1,1),(z,y,x)$ se puede ver que son en el lado derecho de la orden y, por tanto, el determinante es no negativa.

Answer 2

también puede introducir más: si $n=k$ es ACEPTAR y,a continuación:$n=k+1$, WLOG,hay dos casos:

caso I: $x\ge z \ge y$,

${x^{k+1}}y(x - y) + {y^{k+1}}z(y - z) + {z^{k+1}}x(z - x) \ge z{x^{k}}y(x - y)+z{y^{k}}z(y - z)+ z{z^{k}}x(z - x)=z\left({x^{k}}y(x - y) + {y^{k}}z(y - z) + {z^{k}}x(z - x)\right) \ge 0$

caso II: $x\ge y \ge z$

${x^{k+1}}y(x - y) + {y^{k+1}}z(y - z) + {z^{k+1}}x(z - x) \ge z{x^{k}}y(x - y)+z{y^{k}}z(y - z)+ z{z^{k}}x(z - x)=z\left({x^{k}}y(x - y) + {y^{k}}z(y - z) + {z^{k}}x(z - x)\right) \ge 0$