¿Una oda suficientemente agradable siempre prorrogable al plano complejo?

Question

Supongamos que tengo una de primer orden ODE $y' = f(x, y)$ donde $y: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, e $f \in \mathbb{R}[x, y]$. Considere la posibilidad de $f^\mathbb{C} = i(f)$ donde $i: \mathbb{R}[x, y] \to \mathbb{C}[x, y]$ es lo habitual en la incorporación, y la ecuación de $w' = f^\mathbb{C}(x, y)$ donde $w: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ es meromorphic.

Deje $y$ ser una solución analítica de $y' = f(x, y)$. Es su complejo de continuación de $w$ necesariamente una solución de $w' = f^\mathbb{C}(x, y)$?

Lo siento si es una pregunta tonta, mi análisis complejo es muy oxidado :( Mi motivación es que quiero resolver una ecuación de Riccati $y' = y^2 + C^2$. Si yo pudiera recuento $y(x) = iC$ como una solución, yo sería capaz de resolver la ecuación exactamente.

Answer 1

Supongamos $f$ es meromorphic. Todo lo que es (localmente) analítica, por lo que la expansión de la ecuación diferencial como una potencia de la serie le da el resultado que usted desea, ¿verdad? Lejos de los polos en $f$ la igualdad de potencia de la serie para el caso real implica que para el caso complejo.

Si $f^\mathbb C$ no es complejo diferenciable en la línea real (el estándar $\exp(-1/x^2)$ por ejemplo explota en el origen), a continuación, en estos puntos el método falla.

Esto no es necesariamente muy útil, aunque. No veo por qué el complejo de la versión de la ecuación de Riccati tener una constante de la solución es particularmente interesante para el real de la ecuación. Sólo parece decirle a usted acerca de las soluciones complejas, no? No lo he comprobado, pero me sorprendería si esto generó soluciones reales.