Una pregunta en relación con el espacio de Schwartz

Question

Indicar el espacio de Schwartz por $\mathcal S(\mathbb{R})$. Quiero mostrar que $\forall n,k \in \mathbb{N} \cup \{0\}$, $\|\cdot\|^{(n,k)} : \mathcal S(\mathbb{R}) \rightarrow [0, \infty)$ definido por $$\|f\|^{(n,k)} = \sup_{x \in \mathbb{R}} |x^n f^{(k)}(x)|$$ es una norma en $\mathcal S(\mathbb{R})$ y por lo tanto es un countably normativa espacio.

Nunca he trabajado con este espacio antes, así que estoy un poco inseguro. La ayuda será muy apreciada!

Answer 1

La parte más difícil de este ejercicio es mostrar que si $\|f\|^{(n,k)} =0$ algunos $f\in\mathcal S(\mathbb R)$,$f \equiv 0$.

Para cada una de las $x$,$x^nf^{(k)}(x)=0$, por lo tanto para cada una de las $x\neq 0$, obtenemos $f^{(k)}(x)=0$. Desde $f^{(k)}$ es una función continua, la igualdad de $f^{(k)}(x)=0$ realmente mantener para cada una de las $x\in\mathbb R$. Si $k=0$ lo que hace, y si $k\neq 0$, entonces la definición de $g:=f^{(k-1)}$,$g\in\mathcal S(\mathbb R^n)$$g'=0$, por lo tanto $g(x)=c$ para algunas constantes $c$. Desde $g$ desaparece en el infinito, por lo tanto tenemos a $g(x)=f^{(k-1)}(x)=0$ por cada $x$.

La prueba tanto, puede ser completada por una limpia de inducción.