Adjunto functors como "conceptual inversos"

Question

La Enciclopedia de Filosofía de Stanford del artículo en la categoría de teoría afirma que adjunto functors puede ser pensado como "conceptual recíproca" de cada uno de los otros.

Por ejemplo, el olvidadizo functor "deber ser" de la "conceptual inversa" de la libre-grupo-hacer functor. Del mismo modo, en multigrilla la restricción de operador "deber ser" de la conceptual inversa de es adjoint prolongación del operador.

Creo que hay algo profundo e importante la intuición aquí, pero de momento sólo puedo captar en casos específicos y no en el sentido abstracto. ¿Alguien puede ayudar a arrojar luz sobre lo que significa esta declaración acerca de adjoint functors ser conceptual inversos?

Answer 1

En pocas palabras, un bijection entre Hom(f(x),y) y Hom(x,g(y)), dice que "la gráfica de f se obtiene a partir de la "gráfica de g" por "lo que refleja en la diagonal", como la relación entre las gráficas de las funciones inversas de cálculo.

En más detalle: dos funciones f:X → y y g:Y → X son inversas si sus gráficos están relacionados simplemente cambiando las coordenadas x e y, es decir, si {(x,y) : f(x)=y} = {(x,y) : x=g(y)}. Para dos elementos de un conjunto, sólo hay dos posibles relaciones entre ellas: son iguales o no, y podemos reformular f y g, siendo inverso el uno al otro de nuevo diciendo que la relación entre f(x) y y es la misma que hay entre x y g(y), o bien, mediante la delta de Kronecker, como δ(f(x),y) = δ(x,g(y)).

Ahora para dos objetos de una categoría hay muchas posibles "relaciones" pueden ser, al mismo tiempo! Estas "relaciones" son los morfismos entre ellos. Por lo que la generalización de la anterior relación entre f y g functors debe ser que las relaciones entre f(x) y y están en bijection aquellos entre x y g(y), es decir, Hom(f(x),y) ≃ Hom(x,g(y)).