¿Por qué están dispersos conjuntos G-delta?

Question

Estoy buscando una escuela primaria de la prueba de la siguiente - El problema aparece en un análisis real de texto de A. Bruckner:

Un subconjunto $S$ $\mathbb{R}$ se llama dispersos si cada subconjunto no vacío $X \subseteq S$ tiene un punto aislado. Mostrar que cada desperdigados es igual a una contables intersección de bloques abiertos.

Agradecería una detallada de la prueba, si es posible. Gracias.

Answer 1

Hay una explicación detallada de la prueba aquí, un escrito por Dave L. Renfro Es bastante elemental. Menos elemental sería la ruta para mostrar que todos los conjuntos dispersos en un espacio métrico separable son esencialmente contables ordinal espacios y, a continuación, mostrar que todos estos son completamente metrizable, y a la conclusión de que debe ser una $G_\delta$ en un espacio métrico (como $\mathbb{R}$).

Answer 2

Como notado encima de la prueba por Dave L. Renfro es incorrecta. Sin embargo, puede ser corregido y también mucho más simplificado.

En la prueba del Lema deje $\{B_1, B_2, \ldots\}$ ser simplemente una contables subcover de la portada original de $U$. En la definición de $D_n$ replace $(B_{n+1} + B_{n+2} + \ldots)$ $U-(B_1+ B_2+\ldots +B_n)$ $G_\delta$ (que es la intersección del conjunto abierto $U$ con un conjunto cerrado). A continuación, cada una de las $D_n$ $G_\delta$ (ahora sabemos que cada una de las $XB_k$$G_\delta$!) y de ello se deduce inmediatamente que la intersección de todos los $D_n$s es igual a $XU$, que es por lo tanto un $G_\delta$.