Serie de potencias que diverge en un número especificado de puntos en el círculo de convergencia

Question

Quiero construir una serie de potencias complejas con el radio de convergencia $R=1$ que diverge en:

1) $k$ puntos del círculo $\{|z|=1\}$ .

2) número contable de puntos del círculo

Ya he elaborado series que convergen en todo el círculo y divergen en todo el círculo.

¿Alguien puede ayudar con el problema?

Actualización: He buscado en Google una serie $\sum{\frac{z^{kn}}{kn}}$ que es una respuesta para 1). Aunque todavía necesito ayuda para el caso contable.

Answer 1

Sugerencia: para (2), tome una secuencia de puntos $z_k$ en el círculo convergente a $1$ y prueba juntar series que divergen en cada $z_k$ .

Answer 2

Para la parte 1), podemos utilizar La prueba de Abel demostrar $\log(1-z)$ converge en toda la frontera excepto en $z=1$ . Creo que ahora tomando $f(z) = \log(1-z^k)$ debería hacer.

Para la parte 2)

La función generadora del número de particiones de $n$ tiene un número contable de singularidades y para tratar con ello, Hardy, Ramanujan y Littlewood idearon la Método circular que utilizaron para determinar el comportamiento asintótico del número de partición.

Pero, supongo que hay un ejemplo más fácil, ya que se trata de deberes.