Encontrar un polinomio de una igualdad

Question

Encontrar todos los polinomios para que

Lo que he hecho hasta ahora: para $x=8$ obtenemos $p(8)=0$ para $x=1$ obtenemos $p(2)=0$

De modo que existe un polinomio $p(x) = (x-2)(x-8)q(x)$

Aquí es donde me quedo atascado. ¿Cómo puedo seguir?

ACTUALIZACIÓN

Después de sustituir y simplificar la puedo conseguir $(x-4)(2ax+b)=4(x-2)(ax+b)$

Para $x = 2,8$ I get

$x= 2 \to -8a+b=0$

$x= 8 \to 32a+5b=0$

que da $a$ $b$ igual a cero.

Answer 1

La ruta que toma es fecundo.

$p\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x-8\right)q\left(x\right)$ conduce a:

$$\left(x-4\right)q\left(2x\right)=2\left(x-2\right)q\left(x\right)$$

A continuación, $4$ debe ser una raíz de $q$, lo $q\left(x\right)=\left(x-4\right)r\left(x\right)$ líder:

$$r\left(2x\right)=r\left(x\right)$$

A continuación, $r\left(x\right)$ debe ser una constante polinomio y terminamos con: $$p\left(x\right)=c\left(x-2\right)\left(x-4\right)\left(x-8\right)$$

Answer 2

SUGERENCIA:

Deje que el más alto de potencia de $x$ $n$

Por eso, $(x-8)[a(2x)^n+\cdots]=8(x-1)[ax^n+\cdots]$

La comparación de los coeficientes de $x^{n+1},$ $$a2^n=8a\implies n=3$$

Deje $p(x)=(x-2)(x-8)(ax+b)$ donde $a,b$ son constantes arbitrarias que será determinado

La esperanza de tomar desde aquí?

Answer 3

El siguiente es esencialmente @drhab la solución, pero se utiliza sólo una idea en varias ocasiones.

De $$ (x-8)p(2x) = 8(x-1)p(x) $$ we see $x-8$ divides $p(x)$. Let $p(x) = (x-8)p_1(x)$ and substitute, yielding $$ 2(x-8)(x-4)p_1(2x) = 8(x-1)(x-8)p_1(x) $$ De esto podemos ver $x-4$ divide $p_1(x)$. Deje $p_1(x) = (x-4)p_2(x)$, y el sustituto, produciendo $$ 4(x-8)(x-4)(x-2)p_2(2x) = 8(x-1)(x-4)(x-8)p_2(x) $$ De esto podemos ver $x-2$ divide $p_2(x)$. Deje $p_2(x) = (x-2)p_3(x)$, y el sustituto, produciendo $$ 8(x-8)(x-4)(x-2)(x-1)p_3(2x) = 8(x-1)(x-2)(x-4)(x-8)p_3(x) $$ ( ... y nuestro proceso recursivo se detiene debido a que el nuevo $x-1$ factor divide la $x-1$ que ha sido persistente en el derecho de todos a lo largo.) Pero ahora vamos a simplificar a $p_3(2x) = p_3(x)$ y el resto de @drhab el argumento de acabados en el argumento.

Answer 4

Siguiendo el método descrito en esta respuesta podemos escribir la ecuación original en la forma $$\frac{\sigma p}{p} = \frac{\sigma^3 r}{r}$$ donde$\sigma p(x) = p(2x)$$r(x)=8-x$. El uso de la "notación aditiva" (ver la referencia de post) obtenemos $$p=\frac{\sigma^3-1}{\sigma-1}r=(\sigma^2+\sigma+1)r=(4x-8)(2x-8)(x-8)$$ únicas de hasta un factor constante.