Integrar sobre toda la recta real y funciona exactamente,
incluso sin asumir que $n$ es un número entero, mientras $n>-1$.
(Al $n$ es un número entero, la suma de $\sum_{k=0}^n {n \choose k}$
$\sum_{k=-\infty}^\infty {n \choose k}$, que es una suma de Riemann
con malla de 1 para la integral.)
Me refiero a la fórmula 6.414#2 en Gradshteyn y Ryzhik (que a su vez cita a "ET II 297(5)",
donde ET II = Erdélyi et al., Tablas de transformadas IntegralesII
[Nueva York: McGraw Hill, 1954]):
$$
\int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{\Gamma(\alpha+x)\,\Gamma(\beta-x)}
= \frac{2^{\alpha+\beta-2}}{\Gamma(\alpha+\beta-1)},
$$
que vale para todas las complejas $\alpha,\beta$${\rm Re}(\alpha+\beta) > 1$.
Su integrando se obtiene mediante la toma de $(\alpha,\beta) = (1,n+1)$
y multiplicando por $\Gamma(n+1)$.
Añadido posterior: En el hecho de $2^n = \sum_{k=-\infty}^\infty {n \choose w+k}$
vale para todo real $-$ o incluso el complejo $-$ $w$
mientras $n > -1$ (más generalmente,${\rm Re}(n) > -1$$n \in \bf C$),
donde los términos $n \choose w+k$ se definen
el uso de la función Gamma como se sugiere. Integración con respecto a la $w$
de $w=0$ $w=1$da entonces la integral
$\int_{x=-\infty}^\infty {n \choose x} \, dx = 2^n$.
Describimos un complejo-analítica de la prueba de la fórmula para
$F_n(w) := \sum_{k=-\infty}^\infty {n \choose w+k}$
para ${\rm Re}(n) > 0$, por lo que la suma converge absolutamente;
ampliar a ${\rm Re}(n) > -1$ podríamos agrupar los términos en pares
para obtener convergencia absoluta y, a continuación, argumentar de manera similar.
Usando la aproximación de Stirling a la compleja función Gamma
nos encontramos con que $F_n(w)$ converge a una analítica de la función del período $1$
en $w$. [Al $-1 < {\rm Re}(n) \leq 0$ un paso adicional es necesario
para demostrar $F_n(w+1) = F_n(w)$.] Por otra parte, en un período de tiras de
$0 \leq {\rm Re}(w) \leq 1$ el Stirling estimación muestra que
$|F_n(w)|$ no crece más rápido que algunos de potencia de $w$ veces
$\exp \pi\left|{\rm Im}(w)\right|$.
Esto implica que $F_n$ es constante por un argumento estándar(*).
Pero ya hemos visto que $F_n(0) = 2^n$. Por lo tanto $F_n(w) = 2^n$
para todos los $w$, QED.
(*) Una analítica de la función de $w$ periodo $1$ fib es
una analítica de la función de $q := e^{2\pi i w}$; ahora uso Laurent
expansiones acerca de $q=0$ $q=\infty$ donde $F_n$ es
$O(|q|^{\pm(1/2+\epsilon)})$, para demostrar que esta función
es entera y acotada, y por lo tanto constante por Liouville.
P. S. en El caso de $n=0$ de la fórmula
$$
\int_{-\infty}^\infty \frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n-x+1)\,\Gamma(x+1)} dx = 2^n
$$
es equivalente a (a través de la identidad
$\Gamma(z)\,\Gamma(1-z) = \frac\pi{\sin \pi z}$)
con el famoso de la integral definida,$\int_{-\infty}^\infty \sin t \, dt/t = \pi$.
