Sabemos que la simple aplicación de Gauss la ley nos dice que el campo en el interior de una manera uniforme cargada de cáscara esférica es igual a cero. ¿Esta presionado para todos uniformemente cargada cerrado de las superficies? Si es así, ¿cómo podríamos demostrar esto? O es sólo para determinadas formas?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Daniel Broekman
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1951
No se pueden sostener de formas arbitrarias.
La razón por la que funciona para las esferas es que cuando se tiene una distribución de carga esférica y un concéntricos esférica Gaussiana de la superficie, todo el sistema es invariante bajo rotaciones alrededor del centro de las esferas. Si el campo eléctrico fueron diferentes en diferentes puntos de la esfera Gaussiana, usted podría girar todo el sistema en torno a los puntos de intercambio en el que el campo eléctrico es diferente, por lo tanto la obtención de una completamente diferente del campo eléctrico de configuración desde el mismo sistema físico. Pero eso no es permitido; hay una unicidad teorema que garantiza que un sistema físico sólo puede tener un campo eléctrico. De modo que el campo debe ser el mismo en todo alrededor de la esfera Gaussiana. (Razonamiento Similar muestra que debe ser perpendicular a la de Gauss a la superficie en todos los puntos.)
Usted puede utilizar esos datos para simplificar la integral de Gauss la ley:
$$\iint_{\mathcal{S}} \vec{E}\cdot\mathrm{d}^2\vec{A} = E\iint_{\mathcal{S}} \mathrm{d}^2 A = EA$$
Sabiendo que el producto de $EA$ es igual a la cerrada de carga, que es cero, y que el área es distinto de cero, la única opción es que el $E = 0$.
Pero si la superficie y el sistema no tiene esa simetría, usted no puede usar ese argumento. La integral de Gauss la ley no puede simplificarse más allá de $\iint_{\mathcal{S}} \vec{E}\cdot\mathrm{d}^2\vec{A}$, y por lo tanto no se puede utilizar el razonamiento para concluir que $E = 0$. En particular, el campo eléctrico puede ser hacia adentro en algunos puntos del interior de la superficie y hacia el exterior en otros puntos, de tal manera que el flujo total es cero y Gauss la ley todavía está satisfecho.
Por ejemplo, considere la posibilidad de una superficie como esta:
No puede ser arbitrariamente un pequeño agujero en el punto donde las esferas de contacto, para hacer de ella una superficie continua. De todos modos, el campo eléctrico de esta superficie en el interior de la esfera grande será la contribución de la esfera de mayor tamaño, que es cero, además de la contribución de la pequeña esfera, que no es cero.
Vamos a hacer la pregunta al revés. Dado un conductor de forma cerrada y un campo cero en el interior, ¿cuáles son los posibles de la superficie de carga de las distribuciones y cuando uno de ellos es constante ?
El potencial es solución de la ecuación de Laplace y se puede escribir como $$V(r,\theta,\phi)=\sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell \left(A_{\ell m}r^\ell+B_{\ell m}r^{-\ell-1}\right)Y_{\ell m}(\theta,\phi).$$ Las constantes $A_{\ell m}$ $B_{\ell m}$ va a tomar valores diferentes si estamos dentro o fuera de la superficie. Sabemos que $V^{\text{out}}\to 0$ $r\to\infty$ (por lo $A_{\ell m}^{\text{out}}=0$) y por la hipótesis de $A_{\ell m}^{\text{in}}=B_{\ell m}^{\text{in}}=0$ con la excepción de $A_{00}=V_0$ es el valor de la potencial constante.
Por la continuidad de la potencial, tenemos por lo tanto, para cualquier punto en la superficie $$\sum_{\ell=0}^\infty B_{\ell m}^{\text{out}}r^{-\ell-1}Y_{\ell m}(\theta,\phi)=V_0.\tag{1}$$
La distribución de carga en un punto de la superficie está dada por $\sigma=-\varepsilon_0\hat{n}\cdot \nabla V$ donde $\hat n$ es el vector unitario normal a la superficie. Sólo el término de la parte exterior potencial de contribuir. $$\sigma=\varepsilon_0\sum_{\ell=0}^\infty\sum_{m=-\ell}^\ell (\ell+1) B_{\ell m}^{\text{out}}r^{-\ell-2}Y_{\ell m}(\theta,\phi).\tag{2}$$
Las ecuaciones (1) y (2) son la expresión de una constante función en la superficie. En consecuencia, hay proportionnal: hay una constante $\alpha$ tal que $V_0=\alpha \sigma/\varepsilon_0$.
Desde un punto de vista fundamental, de las ecuaciones (1) y (2) son las ecuaciones implícitas de la superficie de la misma por escrito en el mismo sistema de coordenadas como $\Psi(r,\theta,\phi)=\text{constant}$, por lo que los gradientes de $\Psi$ adoptadas para cada uno de ellos debe ser colinear.
Por lo tanto, podemos escribir que, para todos los $\ell$ $m$ $$ (\alpha(\ell+1)-r)B_{\ell m}=0,$$ lo cual es posible si $B_{\ell m}=0$ o si $r$ es una constante. El caso de $r=\text{constant}=\alpha(\ell+1)$ es el conocido esférica caso. Tomamos nota de que en la esférica caso, sólo hay un valor posible de $\ell$ para que $B_{\ell m}\neq 0$, y se sabe que debe ser $\ell=0$ a partir del teorema de Gauss. Así que el único que no trivial solución es $r=R=\text{constant}$. Esto le da a la relación $\sigma=\varepsilon_0 V_0/R$. La carga total es de $Q=4\pi\varepsilon_0V_0R$ y el potencial en el espacio es $V^{\text{out}}(r)=V_0R/r$.
Guillaume Combot
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151
Para una superficie convexa, tomar cualquier punto arbitrario dentro de la superficie cerrada. Ahora considere la posibilidad de un cono con un ángulo infinitesimal a partir de ese punto, de manera que se corta a la superficie en ambos lados.ahora se calcula el campo eléctrico para estos infinitesimal superficies decir $\mathrm{d}s_1$$\mathrm{d}s_2$. Usted encontrará campo eléctrico igual a cero. como estas dos superficies hacer el mismo ángulo sólido en el punto en el pero de los campos debido a que ellos están en la dirección opuesta. $$\mathrm{d}E_1+ \mathrm{d}E_2 = \frac{(\sigma \mathrm{d}\vec{s}_1\cdot\hat{r}_1)}{r_1^2} (-\hat{r}_1)+\frac{(\sigma\mathrm{d}\vec{s}_2\cdot\hat{r}_2)}{r_2^2} (-\hat{r}_2)=\sigma \bigl(\mathrm{d}\omega(-)+d\omega(-)(-)\bigr)\hat{r}_1=0$$
como $\hat{r}_1=-\hat{r}_2$.
Del mismo modo llenar todo el volumen con tales tipos de conos, obtendrá el resultado cero.
Nota: yo creo que la prueba es verdadera sólo para una superficie esférica donde no concavidad está presente, como he considerado a ${d}\vec{s}_1\cdot\hat{r}_1$ ${d}\vec{s}_2\cdot\hat{r}_2$ con fuerza en lugar de $d{s}_1$$d{s}_2$, respectivamente, para mostrar el mismo ángulo sólido, como yo tenía la idea errónea de que el campo eléctrico en el interior de cualquier forma cerrada de la superficie es cero. Incluso para la esfera el argumento anterior es cierto sólo para el centro de la esfera. De alguna manera me confundí con el director de orquesta caso, donde la redistribución de los cargos es posible si nos deforman la superficie. Yo solicitud de Jon para retirar la aceptación de que la respuesta es no responder a su pregunta correctamente.
Para cualquier punto dentro de la esfera, $$\mathrm{d}E_1+ \mathrm{d}E_2 = \frac{(\sigma \mathrm{d}\vec{s}_1\cdot\hat{r}_1)}{r_1^2 (\hat{n}_1\cdot\hat{r}_1)} (-\hat{r}_1)+\frac{(\sigma\mathrm{d}\vec{s}_2\cdot\hat{r}_2)}{r_2^2 (\hat{n}_2\cdot\hat{r}_2)} (-\hat{r}_2)=0$$ como $\hat{n}_1\cdot\hat{r}_1=\hat{n}_2\cdot\hat{r}_2$ $\ $ (relacionados con la cuerda de un círculo )
alemi ha señalado que la prueba falla por no-convexas, ver su dibujo:
