¿Cuáles son las condiciones de regularidad para la diferenciación de una desigualdad?

Question

Esta parece una muy trivial pregunta, pero no pude encontrar una respuesta en la web o en mi habitual de matemáticas referencias.

Supongamos que tengo una desigualdad de la forma $f(x) + g(x) \leq 0$ donde$f$$g$, $C^2$. Cuando está permitido tomar la derivada de w.r.t. $x$ de ambos lados de la desigualdad sin invertir los $\leq$ o de lo contrario haciendo algo ilegal? Sé que si yo tengo una identidad $f(x) + g(x) = 0, \; \forall x \in \mathbb{R}$, entonces por supuesto que es permisible tomar derivados de ella, pero no para una igualdad general.

Gracias de antemano!

Answer 1

Después de tomar la derivada, la desigualdad no necesita tener en cualquier dirección. Como contraejemplo: Vamos a $f(x)=1$$g(x)=\cos( x)$. A continuación, $f(x)+g(x)\ge 0$ todos los $x$$\Bbb R$; pero $f'-g'$ toma valores positivos y negativos.

No creo que hay alguna de las condiciones generales que darle lo que quiere, aparte de los que realmente dan la desigualdad en el caso de los derivados.

Lo que va mal aquí, es que en la mayoría de los casos, dada una función suave $f$ que satisface una determinada desigualdad, es posible encontrar otra función que cumple la misma igualdad, pero cuyo derivado de la toma arbitrariamente grandes valores positivos y negativos (hacer la gráfica de $f$ "ondulado", por ejemplo, agregar el término $\alpha\sin(\beta x)$ donde $|\alpha|$ es pequeña y $\beta$ es grande).