Sobre la definición de posets...

Question

En mi libro, el autor define los posets formalmente de la siguiente manera:

Sea $P$ sea un conjunto, y sea $\le$ sea una relación en $P$ para que,

$a$ . $\le$ es reflexivo.

$b$ . $\le$ es transitiva.

$c$ . $\le$ es antisimétrica.

Diga por $a$ ¿significa esto simplemente que si algún elemento $x\in P$ , $x$ debe tener siempre la misma relación consigo misma? y para $b$ si $x$ tiene relación con $y$ y $y$ tiene relación con $z$ esto implica que $x$ tiene relación con $z$ ?

Además, cuando intento determinar si un algo es un poset, ¿sólo tengo que determinar si existe tal relación? Y esa relación no es necesariamente el significado habitual de " $\le$ "

Answer 1

Sí, a cada una de sus preguntas. Un poset es un conjunto $P$ y una relación de orden parcial definida sobre el conjunto; cuando se intenta determinar si una relación y el conjunto sobre el que está definida es un poset, es necesario comprobar cada una de las propiedades definitorias de una relación de orden parcial con respecto al conjunto. Esto es cierto cuando se comprueba cualquier relación, no siempre denotada por $\leq$ .

(También hay que demostrar que la relación es antisimétrica, si se quiere que sea un poset).

En lo sucesivo, utilizaremos la notación " $\,\leq\,$ "para representar cualquier relación de orden parcial y no sólo el significado más restringido/habitual de " $\,\leq\,$ ("es menor o igual que"), que también define un poset en conjuntos adecuados. Hay muchas relaciones que, junto con los conjuntos sobre los que se definen respectivamente, forman un poset. Es probable que encuentres algunos ejemplos de este tipo en tus estudios y/o en conjuntos de problemas.

Un poset está formado por configure $P$ y un relación en el plató. Una relación sobre el conjunto forma un poset sólo si :

• $\forall a \in P, \;a\leq a\;$ (reflexividad);
• $\forall a, b, c \in P,\;$ siempre que $a \leq b$ y $b \leq c$ esto implica $a \leq c\;$ (transitividad);
• $\forall a, b \in P,\;$ siempre que $a \leq b$ y $b\leq a$ esto implica $a = b\;$ (antisimetría).

Así pues, dada una relación y un conjunto sobre el que está definida, para determinar si se tiene un poset, hay que confirmar que cada una de estas tres propiedades se cumple para todo $a, b, c$ en el set.

Dicho de otro modo, si no hay $a \in P$ para las que falla la reflexividad, entonces la relación es reflexiva; si no hay $a, b, c \in P$ tal que falla la transitividad, entonces la relación es transitiva. Y si no hay $a, b\in P$ en el conjunto tal que falla la antisimetría, entonces la relación es antisimétrica.

Answer 2

Sus afirmaciones son correctas.

Sobre su última pregunta: Un poset es un par ( $P$ , $R$ ), donde $P$ es un conjunto y $R$ es una relación sobre $P$ (que debe tener las propiedades a, b y c). Así que la relación es una parte del poset, no hay libertad para elegirlo.

Por tanto, para determinar si algo es un poset, no hay que determinar si existe una relación de orden adecuada (siempre existe), sino si el conjunto junto con el dado es un poset. La relación siempre debe quedar clara por el contexto, en particular si el símbolo de la relación es no '' $\leq$ ''.