Cómo probar que $(A\cup B)-A = B-(A\cap B)$?

Question

Yo voy por el libro de las Pruebas y los Fundamentos por Ethan Bloch, y en el capítulo de Operaciones hay un ejercicio (Ejercicio 3.3.9) que le pide que haga lo siguiente:

Deje $A$ $B$ ser conjuntos. Demostrar que $(A\cup B)-A = B-(A\cap B)$.

Sé que para probar esto basta con mostrar que el lado derecho de la ecuación es un subconjunto de la izquierda y viceversa.

Empecé tratando de demostrar que mediante la elección de un elemento arbitrario $x$$(A\cup B)-A$.

$x \in (A\cup B)-A$, que es el mismo que

$x \in A \cup B $ $x \notin A$ , que es el mismo que

$x \in A $ o $x \in B $, e $x \notin A$, que creo que significa

$x \in B $.

Tengo cierta intuición sobre cómo proceder, pero no sé cómo hacerlo formalmente.

Las correcciones y sugerencias y/o completar las pruebas son bienvenidos.

Answer 1

El último paso debe ser

$(x\in A \;or\; x\in B) \;and\; (x\notin A)$

Uso Distributiva ley ahora

$(x\in A \;and\; x\notin A)\;or\;( x\in B \;and\; (x\notin A))$

$\Rightarrow x\in B \;and\; (x\notin A)$

$\Rightarrow x\in B-A$

$\Rightarrow x\in B-(A\cap B)$

Esta muestra $((A\cup B)-A )\subset (B-(A\cap B))$

Ahora vamos a $x \in (B-(A\cap B)$

$\Rightarrow x\in B \;and \;x\notin (A\cap B)$

$\Rightarrow x\in B \;and\; (x\notin A\; or\; x\notin B)$

$\Rightarrow (x\in B \;and\;x\notin A) \; or\;(x\in B \; and \; x\notin B)$

$\Rightarrow (x\in B \;and\;x\notin A)$

$\Rightarrow x\in B-A$

También, $B-A \subset (A\cup B)-A$

Esto completa la prueba.

Answer 2

Supongamos $x \in (A \cup B) - A$. A continuación,$(x \in A \text{ or } x \in B)$$x \notin A$. Esto se simplifica a $x \in B$$x \notin A$. Desde $A \cap B \subset A$ (¿por qué esto es cierto?), de ello se desprende que $x \notin A \cap B$. Por lo tanto $x \in B$$x\notin A \cap B$, lo $x \in B - (A \cap B)$.

Answer 3

Una forma más rápida a notar la solución es la siguiente:

$A \subseteq (A \cup B)$, lo $(A \cup B)-A=(A \cup B)- \underbrace{A \cap (A \cup B)}_\text{ distribute}=(A \cup B-A)-A \cap B=B-A \cap B$.

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Otra idea es la siguiente. Podemos utilizar su prueba, pero en la última línea del estado de

"($x \in A$ o $x \in B$) y $x \notin A$.

Pero vamos a usar la lógica declaración equivalente:

( $x \in A$ $ x \notin A$ ) o ( $x \in B$ $x \notin A$).

La primera opción es una contradicción, por lo que el uso de la segunda.

a continuación,$x \in B-A \subseteq B-A \cap B$.

Pero ahora sólo tiene una dirección de la prueba.

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Nos muestran lo opuesto de inclusión:

Queremos: $B-(A\cap B) \subseteq (A \cup B)-A$.

$x \in B-(A \cap B) \implies (x \in B) \land(x \notin A \cap B) \implies (x \in B) \land (x \notin A \lor x \notin B) \implies$_______

sugerencia: usted tiene dos casos, uno de ellos es una contradicción.

Answer 4

El uso de tres propiedades de $A-B=A\cap\bar{B}, B\cap\bar{B}=\emptyset, \overline{A\cup B}=\bar{A}\cap\bar{B}$ donde $\bar{B}$ es el complemento de a $B$, entonces usted tiene $$ LHS=A\cup B-A=(A\cup B)\cap\bar{B}=(A\cap\bar{B})\cup (B\cap\bar{B})=A\cap\bar{B} $$ y $$ RHS=B-A\cap B=A\cap(\overline{A\cap B})=A\cap(\bar{A}\cup\bar{B})=(A\cap\bar{A})\cup(A\cap\bar{B})=A\cap\bar{B} $$ a partir de la cual se puede obtener $$ A\cup B-A=B-A\cap B.$$

Answer 5

Para probar que dos conjuntos son iguales, el más básico de la herramienta es extensionality: son iguales si tienen los mismos elementos.$ \newcommand{\calc}{\begin{align} \quad &} \newcommand{\op}[1]{\\ #1 \quad & \quad \unicode{x201c}} \newcommand{\hints}[1]{\mbox{#1} \\ \quad & \quad \phantom{\unicode{x201c}} } \newcommand{\hint}[1]{\mbox{#1} \unicode{x201d} \\ \quad & } \newcommand{\endcalc}{\end{align}} \newcommand{\ref}[1]{\text{(#1)}} \newcommand {\, a continuación,} {\Rightarrow} \newcommand{\cuando}{\Leftarrow} \newcommand{\verdadero}{\text{true}} \newcommand{\false}{\text{false}} $ In other words, the original statement is equivalent to $$ \tag{0} \langle \forall x :: x \(A \cup B) - A \;\equiv\; x \in B - (A \cap B) \rangle $$

Para probar esto, vamos a simplificar ambos lados de esta equivalencia a su vez, por la expansión de las definiciones y, a continuación, utilizando las leyes de la lógica. Para el lado izquierdo, $$\calc x \(A \cup B) - Un \op=\sugerencia{ampliar las definiciones de $\;-\;$$\;\cup\;$} (x \in A \lor de x \B) \;\de la tierra\; x \no\en Un \op=\sugerencia{distribuir $\;\land\;$ $\;\lor\;$ -- para traer las apariciones de $\;x \in A\;$ juntos} (x \in A \de la tierra x \no\a) \;\lor\; (x \in B \de la tierra x \no\en A) \op=\sugerencia{simplificar} \false \;\lor\; (x \in B \de la tierra x \no\en A) \op=\sugerencia{simplificar} x \in B \de la tierra x \no\en Un \etiqueta{*} \endcalc$$

Hacer lo mismo con el lado derecho de la $\ref{0}$, de obtener el mismo resultado $\ref{*}$, y a la conclusión de que $\ref{0}$ es cierto. Que concluye la prueba de la declaración original.