La horizontal de la línea de pivote de $\sin^2 x$ aquí es exactamente $\frac{3}{8}$. Por qué?

Question

Me di cuenta de que la horizontal de la línea de pivote (o $y$-coordenada del centroide) bajo la curva de $y=\sin^2 x$ $0$ $\pi$ es exactamente $\frac{3}{8}$. No hay razón para mí encontrar este extraño, pero es que es tan limpio. ¿Alguien sabe por qué es esto?

$$\frac{1}{2}\frac{\int_0^{\pi} (\sin^4 x) dx}{\int_0^{\pi} (\sin^2x) dx} = \frac{3}{8}.$$

Answer 1

Me había equivocado argumento de antes. Se me ocurre preguntar cómo saber el valor de $3/8.$ La forma más sencilla para encontrar las dos integrales es mediante el uso de las identidades $$ \sin^2 x = -\frac{1}{2} \cos {2 x} \; + \; \frac{1}{2} $$ y $$ \sin^4 x = \frac{1}{8} \cos {4 x} \; - \; \frac{1}{2} \cos {2 x} \; + \; \frac{3}{8}$$

Answer 2

Supongo que un general de la explicación para este fenómeno podría ser que el valor promedio de $\sin^n\,x$ o $\cos^n\,x$ $[0,2\pi]$ es bastante sencillo, es solo $\frac1{2^n}\binom{n}{n/2}$ si $n$ es aún, y $0$ si $n$ es impar. Esto es claro si se escribe $\cos^n\,x = \left(\frac12(e^{ix}+e^{-ix})\right)^n$ y aplicar el teorema del binomio; después de la integración en un período, sólo el término constante permanecerá.

Un corolario es que si usted toma cualquier polinomio sobre $\cos x$ $\sin x$ cuyos coeficientes son números racionales, su valor promedio $[0, 2\pi]$ será un número racional.

Answer 3

Para determinar el valor de este cociente, usted ni siquiera necesita para calcular las integrales: $$\int_0^\pi\sin^4 x\ dx= - \sin^3 x\ \cos x\Bigr|_0^\pi + \int_0^\pi 3\sin^2 x\ \cos^2 x\ dx = 3\int_0^\pi \sin^2 x\ dx- 3\int_0^\pi \sin^4 x\ dx\ . $$