¿Cuál es la diferencia entre Nakano Postivity y Griffiths Positividad de Hermitian vector haces?

Question

Estoy leyendo "la Compleja Geometría Diferencial" para el ejercicio FISCAL de Zheng en la curvatura de Hermitian vector de paquetes. En la sección 7.5, describió un Hermitian vector paquete de $(E,h)$ a través de una compleja colector $M$ a ser positivamente curva o Griffiths positivo si $$\sqrt{-1}\Theta_{u\bar u}(X,\bar X) >0 \Longleftrightarrow R_{X\bar X u \bar u} >0$$ for any nonzero $(1,0)$ tangent vector $X$ of $M$ and nonvanishing section $u$ of the vector bundle $E$.

Por otro lado, se describe una mayor condición de positividad: Se describe un Hermitian vector paquete de $(E,h)$ a través de una compleja colector $M$ a Nakano positivo si $\sqrt{-1}Q(\xi, \xi)>0$ donde $\xi$ es un lugar de fuga de la sección de $E \otimes \overline{TM}$, e $Q$ es el Hermitian forma bilineal definida en $E \otimes \overline{TM}$ por $$\begin{equation}Q(u\otimes \bar X, v \otimes \bar Y)=R_{Y\bar X u \bar v} \; \; \; \; (*) \end{equation}$$

Después dice que Nakano Positividad implica Griffiths Positividad desde "$R_{X\bar X u \bar u}$ es sólo la restricción de $Q$ a lo largo de la diagonalizable elemento, es decir, los elementos de la forma $u \otimes \bar X$."

Mi confusión es en $(*)$. Si $\xi$ es una sección de $E \otimes \overline{TM}$, entonces no es $\xi$ de la forma $\xi=u \otimes \bar X$? Esto daría lugar a que $$Q(\xi, \xi)=Q(u\otimes \bar X, u\otimes \bar X)=R_{X\bar X u \bar u}>0$$ cual es la definición de la misma como Griffiths Positividad. Estoy haciendo mi alambres cruzados con algunas de las definiciones?

Answer 1

Tiempo atrás he estudiado los conceptos y recuerdo que yo estaba convencido de que la situación es la misma como en la geometría de Riemann con la curvatura $R$ de un colector de Riemann $(M,g)$. Es decir, usted tiene la definición de $(M,g)$ tener positivos de la sección transversal de la curvatura, lo que significa que para todos los ortogonal de vectores unitarios $\mathbf{u},\mathbf{v} \in T_pM$: $$\langle R(\mathbf{u},\mathbf{v})\mathbf{v},\mathbf{u}\rangle > 0 \, .$$ También existe el concepto de curvatura positiva operador que significa que con respecto a las $R$ como auto-adjunto mapa de $$R : \Lambda^2 T_pM \to \Lambda^2T_pM$$ debe ser positiva definida (en el sentido de la formas cuadráticas).

Nakano positividad es análogo a tener curvatura positiva operador en lugar Griffiths' positividad corresponde al positivo de la sección transversal de la curvatura.

El concepto de curvatura positiva operador en la geometría de Riemann se puede apreciar en el interesante e importante papel de R. Hamilton: https://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214440433