¿Probabilidad de un segundo evento dependiente sin conocer el resultado del primer evento?

Question

Tengo esta pregunta en mi libro de texto que me está costando responder.

Tienes una flota de 19 vehículos, de los cuales 4 son furgonetas y 15 son coches. Digamos que tiene que elegir dos vehículos al azar. Independientemente del vehículo que elija primero, ¿cuál es la probabilidad de que el segundo vehículo que elija sea una furgoneta?

He intentado varias respuestas pero ninguna tiene sentido.

La que me pareció correcta es sumar las dos formas posibles de que el segundo vehículo sea una furgoneta.

$$(4/19)\times(3/18) + (15/19)\times(4/18)$$

Pero me han dicho que eso está mal.

¿Podría alguien explicar la forma de hacerlo?

Muchas gracias

Answer 1

Hmm.

P(v2 = van) = sum P(v2 = van, v1 = v) for v in (car, van)
  = sum P(v2 = van | v1 = v) P(v1 = v) for v in (car, van)
  = P(v2 = van | v1 = car) P(v1 = car) + P(v2 = van | v1 = van) P(v1 = van)
  = 4/18 * 15/19 + 3/18 * 4/19

No sé, parece lo mismo que tienes tú. Por cierto, si lo explicas así, tienes más posibilidades de argumentar que tu resultado es correcto (si la respuesta oficial es otra).

Answer 2

Aquí hay otra forma de hacer el problema (que espero que convenza a otras personas de que lo que dice whuber en un comentario sobre la respuesta de Robert Dodier es correcto).

Haz una lista de todos los posibles resultados de la asignación de vehículos a la primera y la segunda opción. Un resultado típico es de la forma $(X,Y)$ donde $X \in \Omega = \{C_1, C_2, \ldots, C_{15}, V_1, V_2, V_3, V_4\}$ y $Y \in \Omega - \{X\}$ . Ahora ordenamos la lista lexicográficamente por la primera entrada y luego por la segunda entrada. El resultado se muestra en la siguiente tabla donde cada una de las $19$ filas tiene $18$ entradas en él. $$\begin{array}{cccccccccc}(C_1, C_2)& (C_1, C_3) & \ldots &(C_1, C_{15}) &(C_1, V_1)&(C_1, V_2) &(C_1, V_3) &(C_1,V_4)\\ (C_2, C_1)& (C_2, C_3) & \ldots &(C_2, C_{15}) &(C_2, V_1)&(C_2, V_2) &(C_2, V_3) &(C_2,V_4)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ (C_{15}, C_1)& (C_{15}, C_2) & \ldots &(C_{15}, C_{14}) &(C_{15}, V_1)&(C_{15}, V_2) &(C_{15}, V_3) &(C_{15},V_4)\\ (V_1, C_{1})& (V_1, C_2) & \ldots &(V_1, C_{14}) &(V_1, C_{15})&(V_1, V_2) &(V_1, V_3) &(V_1,V_4)\\ (V_2, C_{1})& (V_2, C_2) & \ldots &(V_2, C_{14}) &(V_2, C_{15})&(V_2, V_1) &(V_2, V_3) &(V_2,V_4)\\ (V_3, C_{1})& (V_3, C_2) & \ldots &(V_3, C_{14}) &(V_3, C_{15})&(V_3, V_1) &(V_3, V_2) &(V_3,V_4)\\ (V_4, C_{1})& (V_4, C_2) & \ldots &(V_4, C_{14}) &(V_4, C_{15})&(V_4, V_1) &(V_4, V_2) &(V_4,V_3) \end{array}$$

Como las últimas cuatro filas tienen una furgoneta en la primera columna, confirmamos lo que ya "sabemos" a saber la probabilidad de que Van sea la primera elección es $\frac{4~\text{rows}}{19~\text{rows}} = \frac{4\times 18~\text{pairs}}{19\times 18~\text{pairs}} = \frac{4}{19}$ .

Pero, si ordenamos nuestra lista por la segunda entrada primero y luego por la primera, la tabla de arriba obtiene reordenado con el últimas cuatro filas convirtiéndose en

$$\begin{array}{cccccccccc}(C_1, V_1)& (C_2, V_1) & \ldots &(C_{14}, V_1) &(C_{15},V_1)&(V_2, V_1) &(V_3, V_1) &(V_4, V_1)\\ (C_1, V_2)& (C_2, V_2) & \ldots &(C_{14}, V_2) &(C_{15},V_2)&(V_1, V_2) &(V_3, V_2) &(V_4, V_2)\\ (C_1, V_3)& (C_2, V_3) & \ldots &(C_{14}, V_3) &(C_{15},V_3)&(V_1, V_3) &(V_2, V_3) &(V_4, V_3)\\ (C_1, V_4)& (C_2, V_4) & \ldots &(C_{14}, V_4) &(C_{15},V_4)&(V_1, V_4) &(V_2, V_4) &(V_3, V_4) \end{array}$$

Estas últimas cuatro filas son las sólo filas con un $V_i$ en la segunda columna (asegúrese de entender por qué) y así obtenemos de nuevo que la probabilidad de que Van sea la segunda elección es $\frac{4}{19}$ .