Mostrar la compacidad con Arzelà–Ascoli

Question

Para decirlo directamente: nunca he trabajado con la frase de Arzelà Ascoli, por lo tanto este hilo.

He oído que uno puede a menudo se utiliza para mostrar la compacidad de los operadores.

Por ejemplo supongamos $T\colon C([0,1])\to C([0,1])$ ser un operador lineal, definido por

$$ (Tf)(x)=\int\limits_0^1 k(x,y)f(y)\, dy, k\colon [0,1]\times [0,1]\to\mathbb{R} \mbox{ continua}. $$

¿Alguien puede explicar cómo puedo aquí el uso de Arzelà Ascoli para mostrar la compacidad de T?

Sería grande si usted podría explicar poco a poco y no a corto y complicado. Recuerde, que quiero saber cómo se puede aplicar esta frase para mostrar la compacidad y yo nunca había visto antes.

Gracias!

Answer 1

Tenemos que mostrar que para cada secuencia $f_n$ en la unidad de la bola de $C([0,1])$, existe una larga de $T(f_n)$ que converge.

Deje $\|f\|$ denotar el uniforme de la norma en $C([0,1])$.

Así que vamos a $f_n$ ser una secuencia.

1) Vamos a $M$ ser una cota superior para la función continua $|k|$ sobre el compacto $[0,1]^2$. Ahora oObserve que $$ |T(f_n(x))|\leq\int_0^1|k(x,y)||f_n(y)|dy\leq M\|f_n\| \leq M $$ para todos los $n$ y todos los $x\in[0,1]$. Así $$ \|T(f_n)\|\leq M $$ para todos los $n$. Esto demuestra que el $T(f_n)$ son uniformemente acotada.

2) Ahora $$ |T(f_n(x))-T(f_n(x_0))|\leq \int_0^1|k(x,y)-k(x_0,y)||f_n(y)|dy\leq \int_0^1|k(x,y)-k(x_0,y)|dy $$ para todos los $n$ y todos los $x,x_0$. Desde $k$ es continua en el dominio compacto de integración, es uniformemente continua allí. Así, el derecho extremo tiende a $0$ al $x$ tiende a $x_0$. Esto demuestra que el $T(f_n)$ son equicontinuous.

Por Arzela-Ascoli, existe una larga de $T(f_n)$ que converge.

Answer 2

Un (lineal) el operador se llama compacto si y sólo si la imagen de la unidad de la bola es relativamente compacto, es decir, $T(B(0,1))$ es relativamente compacto en donde

$$B(0,1) := \{f \in C[0,1]; \|f\|_{\infty} < 1\}$$

Por Arzelà-Ascoli teorema de un conjunto $A \subseteq C[0,1]$ es relativamente compacto iff

1. $\forall x \in [0,1]: \sup_{f \in A} |f(x)|<\infty$
2. $A$ es equicontinuous, es decir, para todos $x_0 \in [0,1]$, $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que para todo $x \in [0,1]$, $|x_0-x| \leq \delta$ y para todos $g \in A$: $$|g(x)-g(x_0)| \leq \varepsilon$$

Tienes que demostrar que estas dos propiedades de $A:=T(B(0,1))$, es decir,

1. Para todos $x \in [0,1]$: $$\sup_{\substack{f \in C[0,1] \\ \|f\|_{\infty} < 1}} \left| \int_0^1 k(x,y) \cdot f(y) \, dy \right| < \infty$$
2. para todos $x_0 \in [0,1]$, $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que para todo $x \in [0,1]$, $|x_0-x| \leq \delta$ y para todos $f \in B(0,1)$: $$\left| \int_0^1 (k(x,y)-k(x_0,y)) \cdot f(y) \, dy \right| < \varepsilon$$ Hint Use the continuity of $k$.