Un (basic?) contorno problema de integración

Question

Estoy tratando de probar la siguiente mediante el análisis complejo:

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{a^{2}+n^{2}}=\frac{\pi}{a\sinh(a\pi)}$$

Me dice que utilice la siguiente función:

$$f(z)=\frac{1}{(a^{2}+z^{2})\sin(\pi z)}$$

Así que tenga en cuenta que $f(z)$ tiene singularidades en $z = \{\pm i a, n\}$ donde $n \in \mathbb{Z}$. Podemos utilizar el siguiente contorno (que voy a llamar a $\Gamma$):

                                    

Por Cauchy del Teorema de los Residuos, tenemos:

$$\lim_{R \to \infty}\oint_{\Gamma}f(z)\:\mathrm{d}z=2\pi i \sum_{n=-\infty}^{\infty}\operatorname{Res}(n,f(z))$$

Podemos calcular el residuo en cada punto:

$$\operatorname{Res}(n,f(z))=\frac{(-1)^n}{\pi(a^{2}+n^{2})}$$

Por lo tanto tenemos:

$$\lim_{R\to \infty}\oint_{\Gamma}f(z)\:\mathrm{d}z = 2\pi i \sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{a^{2}+n^{2}}$$

Pero tenemos que:

$$\begin{align*}\lim_{R\to\infty}\oint_{\Gamma}f(z)\:\mathrm{d}z = \lim_{R\to\infty}\Bigg(I &+ \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}}\frac{\mathrm{d}y}{(a^{2} + (R + iy)^{2}\sin(\pi(R + iy))} \\ &+ \int_{R}^{-R}\frac{\mathrm{d}x}{(a^{2} + (x + ia/2)^{2})\sin(\pi(x+ia/2))} \\ &+ \int_{\frac{a}{2}}^{-\frac{a}{2}}\frac{\mathrm{d}y}{(a^{2} + (iy - R)^{2})\sin(\pi(iy - R))}\Bigg)\end{align*}$$

Sin embargo, no estoy nada seguro de cómo proceder? Yo estaría muy agradecido por las sugerencias!

Answer 1

Cambiar el contorno de una caja cuadrada de $C_{R}$ de lados $2R$ y centrada en el origen. Los residuos son de singularidades en $z=\pm i$ $z=n$ para todos los enteros $|n|<R$ .

Los residuos en $z=\pm i$ son iguales a

$$\frac{1}{2ia\sin(\pi ia)}=-\frac{1}{2a \sinh(\pi a)}$$

Los residuos en $n$ están dadas por

$$\frac{(-1)^n}{\pi(a^2+n^2)}$$

Es fácil mostrar que

$$\lim_{R\to \infty }\oint_{C_{R}}\frac{1}{(a^2+z^2)\sin(\pi z)}dz=0$$

desde $\sin (\pi z) = \sin (\pi x)\cosh (\pi y)+i\cos(\pi x) \sinh (\pi y)$ crece exponencialmente en cada lado de la caja.

Por lo tanto,

$$\lim_{R\to \infty}\oint_{C_{box}}\frac{1}{(a^2+z^2)\sin(\pi z)}dz=2\pi i\left(\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\pi(a^2+n^2)}-\frac{1}{a\sinh(\pi a)}\right) =0$$

implica que la suma de los residuos es cero. Esto le da

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(-1)^n}{a^2+n^2}=\frac{\pi}{a\sinh(\pi a)}$$

como iba a ser mostrado!

Answer 2

Ok voy a dar una respuesta usando el contorno original:

Como el interlocutor ha dicho correctamente, mirando dentro de la $\textbf{INTERIOR}$ del contorno obtenemos (Límite de $R\rightarrow \infty$ es implícito) $$ \oint_{\Gamma}f(z)=2 \pi i\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(-1)^n} {n^2+a^2)\pi} \quad (1) $$

Pero si buscamos en el $\textbf{EXTERIOR}$ del contorno obtenemos (porque los grandes semicírculos en la parte superior/inferior halfplane desaparecerá)

$$ \oint_{\Gamma}f(z)= -2 \pi i(\text{ res}[ia]+\text{ res} [ia])= 2 \pi i\frac{1}{un\sinh(\pi)} \quad (2) $$

el signo menos es para revertir el camino de la integración. Así que todo lo que queda es poner a $(1)=(2)$ y por tanto:

$$ \frac{\pi} {\sinh(\pi)}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2+a^2} $$

Comentario: $\textbf{EVERY}$ contorno que encierra el eje real se puede utilizar para este truco, siempre y cuando no se singularidades en el resto del plano complejo se cruzan