En un campo, ¿por qué la identidad multiplicativa tiene una inversa aditiva, mientras que la identidad aditiva no tiene una inversa multiplicativa?

Question

Dejemos que $\langle K, +, * \rangle$ sea nuestro campo. Por definición, sabemos que cada elemento distinto de cero, es decir, cada elemento excepto la identidad aditiva, tiene un inverso multiplicativo en el campo, y también sabemos que cada elemento, incluyendo la identidad multiplicativa, tiene un inverso aditivo en el campo.

Sin embargo, dado el hecho de que las operaciones aditivas y multiplicativas son sólo operaciones binarias, y sólo están representadas por diferentes símbolos, yo esperaría que tanto la adición como la multiplicación se comporten de la misma manera en el sentido de que si la identidad multiplicativa tiene una inversa aditiva, también la inversa aditiva debería tener una inversa multiplicativa, es decir, una simetría entre ellas.

Así que mi pregunta es, exactamente, ¿a qué propiedad de esas operaciones binarias o de las propias del campo corresponde este comportamiento asimétrico?

Answer 1

Como dije en los comentarios, la simetría se rompe por la distributividad, $a(b+c) = ab + ac$ que no se cumple simétricamente (de hecho $a+bc = (a+b)(a+c)$ no es cierto en general).

Esta identidad, los axiomas de grupo para $+$ y el hecho de que $0\neq 1$ implican en su totalidad que $0$ no tiene inversa multiplicativa ( $0a = (0+0)a = 0a + 0a$ y así $0a=0$ Así que, a menos que $0=1$ , $0$ no tiene inversa)

Estos axiomas están ahí para generalizar $\mathbb{Z},\mathbb{Q}$ (dominios integrales, o más generalmente anillos con más de un elemento), y son por tanto "naturales", porque en particular la distributividad es esencial en esas estructuras.

Answer 2

Es porque $$0r=(r-r)r=r^2-r^2=0,$$ por lo que si $0r=1,$ tendríamos $0=1$ una contradicción.