Larga problema de integración

Question

$$ \int\frac{(x^3+3x+2)}{(x^2+1)^2(x+1)} \, dx$$

Me las arreglé para resolver el problema usando parcial fracción de descomposición.

Pero ese enfoque es bastante larga, ya que crea cinco variables. ¿Hay algún otro método más corto para resolver este problema(aparte de fracciones parciales)?

También probé trigonométricas sustitución y la creación de la derivada del denominador en el numerador... pero se vuelve aún más. Gracias de antemano!!

Solo para aclarar: (Mi parcial de la fracción de descomposición)

$$\frac{(x^3+3x+2)}{(x^2+1)^2(x+1)}= \frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{Cx+D}{(x^2+1)^2} + \frac{E}{x+1}$$

Answer 1

SUGERENCIA:

$$x^3+3x+2=x^3+x+2x+2=x(x^2+1)+2(x+1)$$

$$\dfrac{x^3+3x+2}{(x^2+1)^2(x+1)}=\dfrac x{(x^2+1)(x+1)}+\dfrac2{(x^2+1)^2}$$

Para el segundo set $x=\tan y$

Para la primera

Método de$\#1:$

escribe el numerador como $$x\cdot\dfrac{(x^2+1)-(x^2-1)}2$$

Método de$\#2:$

set $x=\tan y$ encontrar $$\int\dfrac{\sin y}{\sin y+\cos y}dx$$

Ahora express $\sin y=A(\sin y+\cos y)+B\cdot\dfrac{d(\sin y+\cos y)}{dy}$

Se puede derivar de los valores de las constantes arbitrarias $A,B?$

Answer 2

Hay mucho mejores maneras de encontrar los coeficientes en fracciones parciales de la resolución de cinco ecuaciones con cinco variables.

La escritura de su función como

$$ \frac{x^3 + 3 x + 2}{(x^2+1)^2 (x+1)} = \frac{Q(x)}{(x^2+1)^2} + \frac{E}{x+1} $$ multiplicar ambos lados por $x+1$, y el sustituto de $x=-1$. Tenemos $$ \frac{-2}{2^2} = 0 + E$$ por lo $E = -1/2$, y $$ \eqalign{\frac{P(x)}{(x^2+1)^2} &= \frac{x^3 + 3 x + 2}{(x^2+1)^2 (x+1)} + \frac{1/2}{x+1}\cr &= \frac{x^2 + 3 x + 2 + (1/2)(x^2+1)^2)}{(x^2+1)^2(x+1)}\cr &= \frac{x^3 + x^2 + x + 5}{2(x^2 + 1)^2} }$$ Ahora desea que esta en el formulario $$\frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{Cx+D}{(x^2+1)^2} $$ Multiplicar por $(x^2 + 1)^2$, y el sustituto de $x=i$ (sí, $\sqrt{-1}$). Llegamos $$ 2 = C i + D $$ Pero como queremos $C$ $D$ a ser real, debemos tener $C = 0$, $D = 2$. Esto deja $$ \eqalign{\frac{Ax+B}{x^2+1} &= \frac{x^3 + x^2 + x + 5}{2(x^2 + 1)^2} - \frac{1}{(x^2+1)^2} \cr &= \frac{x + 1}{2(x^2 + 1)}} $$ y hemos terminado: $A = 1/2$, $B = 1/2$, $C = 0$, $D = 2$, $E = -1/2$.