¿Qué es? $\sum_{r=1}^\infty\frac{r+2}{2^{r+1}(r)(r+1)}$ ?

Question

Halla la suma de las siguientes series infinitas $$\frac{3}{2^2(1)(2)} + \frac{4}{2^3(2)(3)} +\dots+\frac{r+2}{2^{r+1}(r)(r+1)}+\cdots $$ hasta $r\to\infty$ .

MI INTENTO:- He intentado dividir $r+2$ como $[(r+1) +{(r+1)-r}]$ para poder cancelar un término de cada uno de los términos del numerador. Entonces obtuve una expresión que era como la serie armónico-geométrica. Pero no pude hacer más después de esto.

Answer 1

Si se hace la expansión parcial de la fracción, el sumando se convierte en

$$\frac{1}{2^{r+1}}\left( \frac{2}{r} - \frac{1}{r+1}\right) = \frac{1}{2^r r} - \frac{1}{2^{r+1}(r+1)}, $$

Así que la secuencia es telescópica. Todos los términos se cancelan excepto el primero, por lo que la suma es igual a $\frac12$ .

Answer 2

Demuestre por inducción que para su suma se sostiene $$\sum_{i=1}^n\frac{i+2}{2^{i+1}i(i+1)}=\frac{2^{-n-1} \left(2^n n+2^n-1\right)}{n+1}$$