La bisección de un ángulo no conduce a Trisecting?

Question

http://en.wikipedia.org/wiki/Talk:Angle_trisection

Si usted toma el ángulo, y dibujar un círculo en la esquina del ángulo. Marca dos puntos a lo largo de los bordes del ángulo. Los dos puntos que forma la tangente de un triángulo isósceles.

Si usted puede trisect una línea, trisecting la tangente no es igual que trisecting el ángulo?

Answer 1

Deje $ABC$ ser un triángulo isósceles, con $AB=AC$. Dividir el segmento de $BC$ a $3$ a partes iguales, utilizando trisection puntos de $P$$Q$. Por lo $AP=PQ=QB$.

A continuación, $\angle BAP$ no es igual a $\angle PAQ$.

Una manera de mostrar esto es observar que las líneas de $AP$ $AQ$ brecha $\triangle ABC$ a $3$ triángulos de igual área (igualdad de las bases, a la misma altura).

Pero el área de $\triangle BAP$$\frac{1}{2}(AB)(AP)\sin(\angle BAP)$.

Del mismo modo, el área de $\triangle PAQ$$\frac{1}{2}(AP)(AQ)\sin(\angle PAQ)$.

Desde $AB\gt AQ$, se deduce que el $\angle PAQ$ es mayor que el ángulo $BAP$.

Answer 2

Aquí es un ejemplo concreto de por qué esto no funciona. Tomar un triángulo isósceles rectangular, con dos brazos de longitud 1, y la longitud de la diagonal de a $\sqrt{2}$. Dividir la diagonal en tres partes, y se obtiene la siguiente imagen:

Ahora, de lado a $A$ tiene una longitud de $\frac{\sqrt{2}}{3}$, ya que es un tercio del total de la diagonal y el lado $B$ tiene una longitud de $1$. Ángulo de $c$$45^\circ$, e $a+b+c=180^\circ$. Aplicamos la ley de los senos para obtener $$ \frac{\sin a}{A}=\frac{\sin b}{B}$$ que se simplifica a $$\sqrt{2}\sin b=3\sin a ~~~~~~~(\star)$$ But now we use the angle-sum formula for sine to write $$\sin b=\sin(180^\circ-45^\circ-a)=\sin(135^\circ-a)=\sin 135^\circ\cos a - \cos 135^\circ \sin a$$
Desde $\sin 135^\circ=\frac{1}{\sqrt{2}}$$\cos 135^\circ=-\frac{1}{\sqrt{2}}$, podemos conectarlo en $(\star)$ conseguir $$\cos a +\sin a = 3\sin a$$ Ahora, restamos $\sin a$ desde ambos lados, y se dividen para obtener $$\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{1}{2}$$ Por lo tanto $a=\tan^{-1} \frac{1}{2}\approx 26.6^\circ$, que no es $30^\circ$, un tercio de $90^\circ$.

Answer 3

Supongamos que queremos "trisect" un ángulo de $3\theta$ por el método sugerido. Mediante el uso de la trigonometría básica y, a continuación, el cálculo de una serie de Taylor encontramos que la media de los tres ángulos de construcción es $$2\bronceado^{-1}\Bigl(\frac{1}{3}\tan\frac{3\theta}{2}\Bigr) =\theta+\frac{2}{3}\theta^3+\frac{1}{2}\theta^5+\cdots\ .$$ Esto no es igual a $\theta$, por lo que el trisection no es exacto.

Sin embargo, esto da algún tipo de respuesta a la observación formulada por David H en Andre Nicolás' respuesta: el error en la trisection es aproximadamente proporcional a $\theta^3$, así que para pequeños valores de $\theta$, la construcción va a estar muy cerca.