Dado un $d$-dimensional espacio curvo, número de dimensiones que se requieren para incrustar? Como ejemplo pensemos en una esfera de la superficie, que es bidimensional del espacio curvo que puede ser expresado en Euclidiana 3D, mientras que un plano requiere sólo dos dimensiones.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Como dicen ustedes:
- El avión $\Bbb R^2$ puede ser incrustado en $\Bbb R^2$ pero no $\Bbb R$.
- La esfera de $\Bbb S^2$ puede ser incrustado en $\Bbb R^3$ pero no $\Bbb R^2$.
En particular, la respuesta no sólo depende de la dimensión del espacio curvo (que aquí voy a aprovechar para decir colector), pero el espacio en sí mismo.
También tenemos:
- Real proyectiva del espacio $\Bbb {RP}^2$ y la botella de Klein $K$ tanto puede ser incrustado en $\Bbb R^4$ pero no $\Bbb R^3$.
De hecho, $4$ dimensiones es suficiente para todas las superficies ($2$-colectores); ver abajo.
Para ser más precisos, la respuesta depende de si uno significa una suave incrustación o de Riemann de la incrustación, es decir, si uno tiene una métrica en el colector uno quiere para que se alinee con la métrica Euclidiana del espacio ambiente. (Los resultados anteriores se refieren a lisa incrustaciones.)
Suave colectores
El (Fuerte) Whitney Incrustación Teorema da una universal límite superior: Un suave $m$-colector puede ser incrustado en $\Bbb R^{2m}$.
Bajo algunas condiciones comunes, podemos mejorar esta obligado a algunos. De la pared ($m = 3$) y Haefliger-Hirsch ($m > 3$) mostró que si un liso $m$-colector es compacto y $m$ no es una potencia de $2$, entonces puede ser incrustado en $\Bbb R^{2m - 1}$. (Podemos incluso mejorar en esto, pero no se conoce de forma cerrada fórmula para la dimensión máxima requerida como una función de la $m$.) Esta restricción re poderes de $2$, $\Bbb {RP}^{2^k}$ no puede ser embebido en $\Bbb R^{2 \cdot 2^k - 1} = \Bbb R^{2^{k + 1} - 1}$.
La Débil Whitney Incrustación Teorema dice que nos puede hacer un poco mejor si permitimos que nuestro colector de estar inmerso, en lugar de embedded (a grandes rasgos, esto significa que nos permiten auto-intersecciones que no son patológicos): Un (topológicas, por lo que no necesariamente suave) $m$-colector puede ser incrustado en $\Bbb R^{2 m - 1}$. (En particular, hay una suave inmersión de $\Bbb {RP}^2$ a $\Bbb R^3$, a pesar de que no hay tal inmersión.
Riemann colectores
Si uno quiere incrustar un (suave) de Riemann colector $(M, g)$ en el espacio Euclidiano $(\Bbb R^N, \bar{g})$, por lo que la métrica $g$ es la métrica determinada en $M$ por la incrustación de objetos, generalmente se requiere de mayores dimensiones Euclidianas espacios de Whitney Incrustación Teorema establece que: El Nash Incrustación Teorema (bueno, un teorema por este nombre) dice que una de Riemann $m$-colector puede ser incrustado en $\Bbb R^{m (3m + 11) / 2}$ si el colector es compacto y $\Bbb R^{m (m + 1) (3m + 1) / 2}$ si no.
NB que la dimensión requerida puede depender de $g$, y no sólo en $M$. Por ejemplo, el 'toro' $\Bbb T^2$ puede ser embebido en $\Bbb R^3$, y cualquier tipo de incrustación determina una métrica. No hay tal métrica es plana, sin embargo, por lo que el plano toro no puede ser embebido en $\Bbb R^3$; puede, sin embargo, ser incrustado en $\Bbb R^4$.
