Cómo probar esta desigualdad $\frac{3}{4}\le \left(\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{n-1}}+\left(\frac{1}{n}\right)^{\frac{n}{n-1}}$

Question

Para cualquier postive número entero $n\ge 2$, mostrar que

$$\dfrac{3}{4}\le\left(\dfrac{1}{n}\right)^{\frac{1}{n-1}}+\left(\dfrac{1}{n}\right)^{\frac{n}{n-1}}<1$$

Yo:vamos a $\dfrac{1}{n}=x$, luego $$\left(\dfrac{1}{n}\right)^{\frac{1}{n-1}}+\left(\dfrac{1}{n}\right)^{\frac{n}{n-1}}=x^{\frac{x}{1-x}}+x^{\frac{1}{1-x}}(0<x<1)$$ tal vez el uso de los Jóvenes de la desigualdad.

Pero no puedo,y creo que este problema tiene más agradable métodos,Gracias

Answer 1

Tenga en cuenta que, para cada $n\geqslant2$, $$ \left(\dfrac{1}{n}\right)^{\frac{1}{n-1}}+\left(\dfrac{1}{n}\right)^{\frac{n}{n-1}}=\frac{n+1}{n^{n/(n-1)}}=\mathrm e^{u(n)}, $$ donde, para cada $x\gt1$, $$ u(x)=\log(x+1)-\frac{x}{x-1}\log x. $$ Por lo tanto, $$ u'(x)=\frac{v(x)}{(x-1)^2},\qquad v(x)=\log(x)-2\frac{x-1}{x+1}. $$ que los rendimientos de $$ v'(x)=\frac1x-\frac4{(x+1)^2}=\frac{(x-1)^2}{x(x+1)^2}. $$ Ahora, $v(1)=0$ $v$ está aumentando por lo tanto $v\gt0$ $u$ es el aumento en $(1,+\infty)$, en particular, para cada $n\geqslant2$, $$ u(2)\leqslant u(n)\lt u(+\infty). $$ Tenga en cuenta que $u(2)=\log3-2\log2$ y $u(x)$ $$ u(x)=\log\left(1+\frac1x\right)-\frac{\log x}{x-1}, $$ por lo tanto $u(+\infty)=0$. Por último, para cada $n\geqslant2$, $$ \frac34=\mathrm e^{u(2)}\leqslant\left(\dfrac{1}{n}\right)^{\frac{1}{n-1}}+\left(\dfrac{1}{n}\right)^{\frac{n}{n-1}}\lt\mathrm e^{u(+\infty)}=1. $$

Answer 2

Creo que hay una manera mucho más sencilla. Observe que $\left(\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{n-1}}+\left(\frac{1}{n}\right)^{\frac{n}{n-1}}$ puede ser expresado como: $$ a_n=\frac{n+1}{n}\left(\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{n-1}},$$ y sólo tenemos que demostrar que la secuencia de $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ va en aumento, ya que su límite es claramente $1$. $a_{n+1}\geq a_{n}$ es equivalente a: $$ n^{n^2} (n+2)^{n(n-1)} > (n+1)^{2n^2-n-1}, $$ o a: $$\frac{(n+1)^{(n+1)}}{(n+2)^n}>\left(\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}\right)^{n^2},$$ Observe que en virtud de la desigualdad de Bernoulli el lado izquierdo es mayor que el $\frac{n+2}{e}$, mientras que el lado derecho es menor que $e$, lo que para cualquier $n\geq 6$ la desigualdad se cumple para el seguro, y tenemos sólo compruebe $n=2,3,4,5$, por lo que la diferencia entre el lado izquierdo y el lado derecho es ciertamente positiva con la mano (o equipo) de cálculo.