Demostrar $G$ es un grupo (inusual estrella de la operación).

Question

He llegado a través de otro bien, una simple pregunta, pero estoy teniendo problemas con la $G$'s se define la operación.

Deje $(G,\circ)$ ser un grupo y $x_0 \in G$. Considere la posibilidad de la operación $*$ definido en $G$$a * b = a \circ x_0 \circ b, a,b\in G$.

a) Conocer $*$ es asociativa, mostrar $(G,*)$ es un grupo.

Bien, hasta ahora tengo esto:

1. Desde $x_0 \in G$, G es no vacío.
2. Cerrado bajo la multiplicación: Vamos a $a,b \in G$. $a * b = a \circ x_0 \circ b$. Desde todos los $a, b,$$x_0$$G$, entonces su producto es en $G$.
3. Identidad: $a * 1_G = a$ (no creo que tengo esto muy bien, porque estoy jugando con la recíproca, y que probablemente no es necesario)

$a * 1_G = a == a \circ x_0 \circ 1_G = a == a^-1 \circ a \circ x_0^-1 \circ 1_G = a^-1 \circ a == x_0 \circ 1_G = 1_G == x_0 = 1_G$

Me queda probar el inverso del elemento, que probablemente debe ser hecho antes de que la identidad. O tal vez debería volver a pensar en mi estrategia de identidad. Estoy un poco perdido aquí. Alguna ayuda? Gracias.

EDIT: a Lo que me refiero es: Claramente, necesitamos el concepto de matrices inversas para el trabajo del grupo elemento de identidad. La cosa es que, me lo demostró antes de probar la existencia del elemento inverso. No es esto un problema?

Answer 1

El problema que está teniendo con el elemento de identidad es que $1_{(G,\circ)}$ no es el elemento de identidad en $(G,\ast)$, $x_0^{-1}$(con inversa tomada con respecto a los $(G,\circ)$) es desde el $$a\ast x_0^{-1}=a\circ x_0\circ x_0^{-1}=a\circ 1_{(G,\circ)}=a$$ and $x_0^{-1}\ast a=a$ de la siguiente manera casi idéntica.

Con esto en mente, usted puede averiguar lo que los inversos son?

También, se menciona que usted piensa que usted debe encontrar inversas, antes de encontrar la identidad. Esto es poco aconsejable porque inversos se definen en términos de la propia identidad, sin identidad, el concepto de la recíproca no significa nada.

Edit: para mostrar que $(G,\ast)$ es cerrado bajo $\ast$, podemos utilizar el hecho de que $(G,\circ)$ es cerrado bajo $\circ$. Explícitamente, para cualquier $a,b\in G$, $$a\ast b=a\circ x_0 \circ b\in G$$ since $\circ$ is a binary operation on $G$.

Answer 2

Como se puede ver, $a *1_G=a\iff x_0 \circ 1_{G_2}=1_{G_1}$ donde$G_1=(G,\circ)$$G_2=(G,*)$. Por lo tanto, usted consigue $1_{G_2}={x_0^{-1}}_{G_1}$. Eso significaría que la inversa de a $x_0$ bajo la operación "$\circ$" es el elemento de identidad en $G_2$, $G$ bajo $*$ operación.

Como para encontrar la inversa, para un determinado $a\in G$, queremos encontrar a $b$ tal que $a*b=1_{G_2}={x_0^{-1}}_{G_1}$. Por eso, $a*b=a \circ x_0 \circ b={x_0^{-1}}_{G_1}$.

Darse cuenta de que la última línea es simplemente una expresión que toma lugar en el $G_1$, en virtud de que la operación "$\circ$", se puede proceder, señalando ${y}^{-1}_{G_1}={y^{-1}}$, suponiendo que ya están dando pasos en $G_1$: $a \circ x_0 \circ b={x_0^{-1}}_{G_1}\Rightarrow x_0 \circ b=a^{-1}{x_0^{-1}}\Rightarrow b={x_0^{-1}}a^{-1}{x_0^{-1}}$, que, volviendo a $G_2$, se indican: $a^{-1}_{G_2}=b=({x_0^{-1}}_{G_1})(a^{-1}_{G_1})({x_0^{-1}}_{G_1})$. Es muy importante notar que $a^{-1}_{G_2}$ $a^{-1}_{G_1}$ no son necesariamente los mismos.

Answer 3

Como ya se ha señalado, el elemento de Identidad en $(G,*)$$x_0^{-1}$.

El inverso de un elemento $a \in (G,*)$$x_0^{-1} \circ a^{-1}\circ x_0^{-1}$:

$$ un \ast (x_0^{-1} \circ a^{-1}\circ x_0^{-1})=\\ = a \circ x_0 \circ (x_0^{-1} \circ a^{-1}\circ x_0^{-1})=\\ x_0^{-1}=(x_0^{-1} \circ a^{-1}\circ x_0^{-1}) \ast una. $$

Answer 4

No creo que tenga nada todavía.

1) Usted dice que G es no vacía, debido a que $x_0 \in G$. Bueno, sí, pero usted sabe que como un conjunto $<G, \circ> = <G, *>$ $<G, *>$ no está vacía.

Lo que tenemos que probar en lugar de ello es que jamás $g \in G$ puede ser escrito como $h \circ x_0 \circ i$. Que se puede, como $g = g \circ x \circ c_0^{-1}$

2) Antes de que usted podría hacer la afirmación de que tenía que demostrar todos los $a = a' \circ x_0 \circ a~$, lo que hicimos arriba. Así que como $a,b$ $<G, \circ$ > $a,b$ $<G, *>$ $a \circ x_0 \circ b \in <G, \circ>$ que como un conjunto es $<G, *>$. Pero nos hizo tener que demostrar que todo lo $in G$ eran expresables como $a' \circ x_0 \circ a~$ primer

3) $a * I_G = a \circ x_0 \circ I_G = a \circ x_0 \ne a$

Así que no lo va a hacer! necesitamos encontrar a $e$ tal que $c \circ x_0 e = c = e \circ x_0$ todos los $c \in G$.

Si $c \circ x_0 e = c$$e = x_0^{-1} \circ c^{-1} \circ c = x_0^{-1}$.

Mientras tanto $c*x^{-1} = c \circ x_0 \circ x_0^{-1} = c = x_0^{-1} \circ x_0 \circ c $.

Por lo $x^{-1}$ es el elemento de la identidad de $<G , *>$

3) Finalmente, a la inversa: Para$a \in <G, *>$$a \circ x_0 \circ b = b \circ x_0 \circ a = x^{-1}$?

Que sería de $x_0^{-1} \circ a^{-1} \circ x_0^{-1}$. Intente.