Demostrar que si $\gcd(a,b)=1$ entonces $\gcd(a^2,b^2)=1$

Question

Por lo tanto, si $\gcd(a,b)=1$ entonces $\gcd(a^2,b^2)=1$ significa $1=ax+by$ y quiere mostrar $a^2x+b^2y=1$ . Elevando al cuadrado $1=ax+by$ ambos lados, entiendo, $1=(ax)^2+b(2axby+by^2)$ . No ayuda a mi prueba. Por favor, ayúdame con esta prueba.

Answer 1

Supongamos que $gcd(a,b)=1$ entonces tienes $ax+by=1$ al cubo, obtenemos $(ax+by)^3=1$

es decir, $a^3x^3+b^3y^3+3a^2x^2by+3axb^2y^2=1$

es decir, $a^2(ax^3+3x^2by)+b^2(by^3+3axy^2)=1$

¿implica esto $gcd(a^2,b^2)=1$ ???

Answer 2

Primer programa $\gcd(a, b^2) = \gcd(a^2, b) = 1$

$\gcd(a,b) = 1$ significa que hay $x$ , $y$ ( $x$ , $y$ son números enteros) tales que $ax + by =1$

$ax + by(ax+by) =1$

$a(x+bxy) + b^2y =1$

Es decir $\gcd(a,b^2)=1$

$\gcd(a,b^2)= \gcd(a^2,b)=1$

$ar_1(ar_2+b^2s_2) +b^2s_1 = 1$

$a^2r_1^2+b^2(ar_1s_1+s_1)=1$

Por lo tanto,

$\gcd(a^2, b^2) = 1$

Answer 3

¡Cubéalo! ${}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}$

Answer 4

También puedes probar con una contradicción:

Supongamos que $(a,b) = 1$ y $(a^2,b^2) = d$ donde $d \neq 1$ . Utilizando la segunda hipótesis, se puede decir $a^2x + b^2y = d$ para un par de números enteros $x$ y $y$ . Dividiendo ambos lados por $d$ puede llevar a una contradicción con $(a,b) = 1$ .

Por supuesto, faltan algunos detalles, pero merece la pena tenerlo en cuenta, ya que la cubicación puede no resultar muy natural.