Funciones sobre la recta real que preservan diferentes modos de convergencia y preservan la divergencia de series infinitas reales

Question

A partir de esta pregunta El conjunto de funciones que asignan series convergentes a series convergentes se sabe que el conjunto de funciones sobre la recta real que mapea series convergentes a series convergentes está bien estudiado y completamente caracterizado . Mi pregunta es: ¿se ha estudiado alguna de las siguientes situaciones?

1) Funciones $f:\mathbb R \to \mathbb R$ que asigna toda serie absolutamente convergente $\sum_{n=1}^\infty a_n$ a una serie convergente $\sum_{n=1}^\infty f(a_n)$

2) Funciones $f:\mathbb R \to \mathbb R$ que asigna toda serie absolutamente convergente $\sum_{n=1}^\infty a_n$ a una serie absolutamente convergente $\sum_{n=1}^\infty f(a_n)$

3)Funciones $f:\mathbb R \to \mathbb R$ que asigna toda serie convergente $\sum_{n=1}^\infty a_n$ a una serie absolutamente convergente $\sum_{n=1}^\infty f(a_n)$

4)Funciones $f:\mathbb R \to \mathbb R$ que asigna toda serie divergente $\sum_{n=1}^\infty a_n$ a una serie divergente $\sum_{n=1}^\infty f(a_n)$

He incluido todas estas situaciones en una sola pregunta debido a su motivación similar . Una condición necesaria para todas las funciones en 1),2),3) es que $f(0)=0$ y $f$ debe ser continua en $0$ . Funciones que cumplen $|f(x)|\le k|x|$ en un barrio de $0$ satisfacen las condiciones 1) y 2), pero no consigo averiguar si éstas caracterizan a todas las funciones de este tipo . Para 3) , no tengo ni idea . Para la 4) , sólo he averiguado que $f(x) \ne 0$ para $x\ne 0$ . Cualquier ayuda, referencia, enlace con respecto a cualquiera de estos será muy apreciada. Gracias de antemano

Answer 1

El resultado de 1) se cumple si $|f(x)/x|$ está acotada en alguna vecindad suprimida de $0.$

Pruebas: Como has dicho, si $|f(x)/x|$ está acotada, entonces $\sum f(a_n)$ es absolutamente convergente siempre que $\sum a_n$ es absolutamente convergente. Eso es más que suficiente para esta dirección y fácil de demostrar.

Supongamos $\sum f(a_n)$ es convergente siempre que $\sum a_n$ es absolutamente convergente. Supongamos, para llegar a una contradicción, que $|f(x)/x|$ no está acotada. Entonces hay una secuencia $a_n \to 0$ tal que $|f(a_n)/a_n|> n^2.$

Ahora hay una subsecuencia $n_k$ tal que $|a_{n_k}|<1/k^6.$ Para grandes $k$ podemos decir lo siguiente: Existe $m_k \in \mathbb N$ tal que

$$\tag 1 1/(k+1)^2 \le m_k|a_{n_k}| \le 1/k^2.$$

La razón es que la longitud de $[1/(k+1)^2, 1/k^2]$ se trata de $1/k^3.$ Así que empezamos con $|a_{n_k}|< 1/k^6$ y subir a partir de ahí en incrementos de $|a_{n_k}|.$ Tenemos que aterrizar en el intervalo anterior en algún momento porque los incrementos son menores que la longitud del intervalo.

Ahora diseñamos una serie en bloques. La dirección $k$ bloque es $a_{n_k} + a_{n_k} + \cdots + a_{n_k},$ donde hay exactamente $m_k$ términos. Esta serie es absolutamente convergente. De hecho $\sum|a_n| =\sum_{k=1}^{\infty} m_k|a_{n_k}|.$ Por $(1),$ esta suma es finita.

Reclamación: $\sum_{n=1}^{\infty} f(a_n)$ diverge. La afirmación nos da la contradicción deseada. Para demostrar la afirmación $B_k$ sea el $k$ bloque de índices. Mostraré

$$\tag 2 |\sum_{n\in B_k} f(a_n)| > 1/2$$

para grandes $k.$ Esto demuestra la divergencia deseada. ¿Por qué? Demuestra la secuencia de sumas parciales de $\sum_{n=1}^{\infty} f(a_n)$ no es Cauchy.

Ahora el lado izquierdo de $(2)$ es igual a

$$|m_kf(a_{n_k})| \ge m_k|n_k^2a_{n_k}|.$$

Porque $n_k \ge k,$ $(1)$ muestra que lo anterior es al menos

$$k^2m_k|a_{n_k}| \ge k^2/(k+1)^2,$$

que es $> 1/2$ para grandes $k.$ Eso da $(2)$ y prueba la afirmación.

A la 2). Reclamación: $f$ lleva AC a AC si $|f(x)/x|$ está acotada en alguna vecindad suprimida de $0.$ En otras palabras, de la solución a $(1),$ $f$ lleva AC a AC si $f$ lleva AC a C. La prueba es fácil: está claro que si $|f(x)/x|$ está acotada, entonces $f$ lleva de CA a CA. Supongamos que $f$ lleva AC a AC. Porque AC $\subset$ C, vemos $f$ funciona en 1), por lo que $|f(x)/x|$ está limitada.

3). Las únicas funciones que funcionan aquí son idénticas $0$ en un barrio de $0.$ Prueba: Si $f$ lleva C a AC, entonces $f$ lleva C a C. Del resultado que citas en la primera línea de tu pregunta, $f(x) = cx$ en un barrio de $0.$ Considere la serie $\sum (-1)^n/n.$ Aplicación de $f$ a esto da una serie cuyos términos para grandes $n$ son $c(-1)^n/n.$ Esa serie no converge absolutamente a menos que $c=0$ y ya está.

4). No he pensado en ello. Tenga en cuenta que cualquier $f(x) = cx, c\ne 0,$ llevará a D a D. Puede ser que cualquier $f$ que funciona en 4) debe ser igual a uno de estos en una vecindad de $0.$