Digamos que $X$ es una variedad algebraica y $U\subset X$ es abierto. Considere el mapa natural $U\rightarrow \operatorname{Spm}(\mathcal{O}_X(U))$ dado al enviar un punto de $U$ al ideal de secciones sobre $U$ que se anulan en ese punto. $U$ es afín si y solo si este mapa es un isomorfismo de variedades.
¿Es suficiente saber que $U$ es una biyección de conjuntos? (¡Me parece que sí! El anillo de secciones globales en $\operatorname{Spm}(\mathcal{O}_X(U))$ ya es $\mathcal{O}_X(U)$ ¿verdad? ¡Entonces los anillos ya coinciden! Solo tenemos que verificar que los conjuntos coincidan ... ¿qué me falta?)
EDITAR (en respuesta a los comentarios de QiL):
Primero, permítame agregar la suposición de que $\mathcal{O}_X(U)$ esta finitamente generado como un álgebra $k$, por lo que $\operatorname{Spm}(\mathcal{O}_X(U))$ es una variedad afín.
Segundo, permítame declarar la definición de variedad algebraica con la que estoy trabajando: una prevariedad separada. Una prevariedad es un espacio topológico quasicompacto con una gaba de funciones valores en $k$ (para $k$ un campo algebraicamente cerrado) tal que cada punto está contenido en un conjunto abierto tal que la restricción de la gaba a ese conjunto lo hace isomorfo (como espacio anillado) a una variedad afín. Una variedad afín es el $\operatorname{Spm}$ de un álgebra $k$ reducida finitamente generada.
