¿Por qué la adición de un plazo $5f'(t)$ $5f''(t)+10f(t)=0$causa de amortiguación?

Question

Así que tenemos una ecuación diferencial para el modelo de un oscilador: $$5f''(t)+10f(t)=0$$

Donde las condiciones iniciales son $f(0)=0$$f'(0)=4$.

Se da eso $f(t) = \frac{2\sqrt 2}{5}\sin\sqrt2 t$.

Ahora, si queremos hacer un hacer un ligero cambio en la ecuación original y agregar en un múltiplo de $f'(t)$, específicamente: $$5f''(t)+5f'(t)+10f(t)=0$$

Las condiciones iniciales son lo mismo como antes, pero parece que la adición de esta $f'(t)$ introduce la amortiguación. He resuelto la ecuación anterior para el rendimiento: $$f(t)=\frac{8e^{-\frac t2}}{\sqrt 7}\sin \frac{\sqrt 7}{2}t$$

Mi pregunta es esta: ¿por qué realiza la suma de un múltiplo de $f'(t)$ crear este efecto?

Answer 1

Si $f(t)$ representa el desplazamiento del oscilador de su equilibrio, entonces la primera derivada $f'(t)$ será la velocidad y la segunda derivada $f''(t)$ de la aceleración (que, según Newton $2^{nd}$ ley del movimiento, es siempre proporcional a la fuerza resultante ejercida sobre el oscilador).

Así, su primera ecuación $5f''(t)+10f(t)=0$ dice que: $\sum F(t)=-kx(t)$, ($k$:constante), que es la ley de Hooke es decir, la condición necesaria y suficiente para una libre (no amortiguados) oscilación.

Por otro lado, su segunda ecuación $5f''(t)+5f'(t)+10f(t)=0$ dice que: $\sum F=-kx(t)-bu(t)$, ($k,b$:constante), es decir, hay una componente de la fuerza neta proporcional a la velocidad: $-bu(t)$, que es exactamente la fuerza de amortiguación. (Generalmente las fuerzas de fricción, la resistencia del aire y, más generalmente, varias resistencias al movimiento son modelados por sumandos proporcional a la velocidad o a algún poder de ella).

Answer 2

Vamos a escribir la ecuación diferencial como este: $$f''(x)=-2f(x)-f'(x).$$ The acceleration of the oscillator is equal to $-2$ veces su posición menos su velocidad. De acuerdo a las condiciones iniciales, esto significa que la velocidad inicial es positiva, la posición es cero, de modo que la aceleración inicial es negativo. Puesto que la velocidad y la aceleración tienen signo opuesto, el oscilador se está desacelerando. En el sistema original, la aceleración en el principio era cero, de modo que cuando añadimos la amortiguación plazo, el oscilador se ralentiza más abruptamente que antes. Esto significa que el primer máximo de la posición es un poco menos con amortiguación de otra manera. Ahora el oscilador entra en la velocidad de fase. Pero desde el Oscilador del máximo no es tan extrema como la de antes, su aceleración es menor en esta fase, por lo que cuando llega a su velocidad máxima, su velocidad es también más pequeño. El oscilador está perdiendo energía. El patrón continúa para siempre. El oscilador pierde la energía y disminuye en amplitud exponencialmente.

Answer 3

La respuesta sencilla es que esta parte añadir el efecto de amortiguación de todo el sistema.

Mientras que en la prueba, es mejor resolver la ecuación explícita:

Para estos tipos de homogénea de la educación a distancia con factores constantes, se podría llegar a re-escribir la ecuación en la forma: $$p(\partial_t)f(t)=0$$ $p(\partial_t)$ es un polinomio de la función de operador $\partial_t$.

El uso de la $\lambda_i$ raíz de la notación: $$p(\partial_t)=\prod_{i}(\partial_t -\lambda_i)$$ tenga en cuenta que la constante conmuta con el operador de derivación $\partial_t$, acaba de hacer integrales en el orden del producto. $$p(\partial_t)f=(\partial_t-\lambda_1)\prod_{i=2}^{n}(\partial_t -\lambda_i)f$$

Hay un truco que: $$(\partial_t-\lambda)f=e^{\lambda t}\partial_{t}(e^{-\lambda t}f)$$ After integral from initial situation the $e^{\lambda t}$ part will remain. Thus the spectrum of $\lambda_i$ decides the solve's form as $e^{\lambda t}$ veces polinomios(verificación a través de las manos) : $$\sum _{i}c_{i}(t)e^{\lambda_i t}\ \ \ \ Rank(c_{i}(t))=Rank(\lambda_i)$$ .

En la primera ecuación de la $p_{0}(\partial_t)=5\partial_t ^{2}+10$ ha imaginario puro raíces, mientras que después de la adición de la $5\partial_t$ podemos obtener dos raíces complejas $-\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt{7}}{1}$, la posible solución real definitivamente contienen factor de amortiguamiento $e^{-\frac{t}{2}}$.

Answer 4

La parte real de la raíz conduce a un aumento exponencial de la descomposición de comportamiento dependiendo del signo. La parte imaginaria conduce a un comportamiento oscilatorio. En su caso, el complejo de raíces con parte real negativa conducir a un oscilador amortiguado.

Con $f'' = -cf$, uno podría esperar que una puramente imaginaria de la raíz (si $c>0$). Ese es un perfecto oscilador, lo cual tiene sentido. La aceleración depende de la posición anterior. Pensar acerca de una masa en un resorte cuya fuerza de $F=-kx$. Es la aceleración en cualquier tiempo dado depende de su posición.

Con $f'' = -bf'-cf$, se podría esperar que real o raíces complejas, dependiendo de la $b$. Si la raíz es complejo, entonces nos va a tener un oscilador, pero es que están siendo modificados por la función de la dependencia de la velocidad. Si la parte real es negativo, creo masa en un resorte, pero la primavera está sujeta a algunas de fricción o resistencia a los fluidos. La resistencia del aire, a veces se modela como proporcional a la velocidad, $F=-\mu v$. Este sería húmedo de su oscilador.

Answer 5

Esto sucede debido a la amortiguación de la dinámica de sistemas de segundo orden. El coeficiente cuando el cero da no amortiguados movimiento armónico. Cuando un no-cero, existen 3 tipos de amortiguación ( sobreamortiguado, críticamente amortiguado bajo amortiguada).Los gráficos son muy instructivos.

2ndOrderOscillations