Los fluidos de la Ecuación de Euler

Question

De pequeña amplitud de dos dimensiones ondas de perturbar la superficie de un incompresible, irrotacional fluido con una presión p(x, y, t) y una velocidad potencial φ(x, y, t) que satisface la ecuación de Laplace. La superficie libre, dada por y = η(x,t), es constante y la presión atmosférica pa y que el líquido de profundidad infinita. En términos de φ y η, ¿qué es la cinemática de la condición de contorno en la superficie libre? A partir de las ecuaciones de Euler, muestran que φ puede ser elegido tal que $$\frac{∂φ}{∂t}+\frac{1}{2}|∇φ|^2+gy+\frac{p−p_a}{\rho} =0$$

Ecuación de Euler:$$\frac{∂\mathbf u}{∂t}+(\mathbf u \bullet\nabla)\mathbf u= -\frac{1}{\rho}\nabla p+\mathbf g$$$$\nabla\bullet\mathbf u=0 $$

Sé que representan a $\mathbf u$ por φ pero ¿cómo debo usar $p_a$?

Answer 1

La respuesta a esta pregunta se utiliza una fórmula fundamental del cálculo vectorial. Uno tiene $$ ({\bf u}\cdot\nabla){\bf u}= \frac{1}{2}\nabla(|{\bf u}|^2) -{\bf u}\times(\nabla\times{\bf u}). $$ En este caso uno tiene un potencial de $\varphi$ para el campo de velocidad y, a continuación, $$ ({\bf u}\cdot\nabla){\bf u}=\frac{1}{2}\nabla(|\nabla\varphi|^2). $$ Observamos también que, al ser la velocidad del campo irrotacional ($\nabla\cdot{\bf u}=0)$, se obtiene inmediatamente que $$ \nabla\cdot(\nabla\varphi)=\Delta_2\varphi=0. $$ Ahora, usando la ecuación de Euler tenemos $$ \frac{\partial}{\partial t}\nabla\varphi+\frac{1}{2}\nabla(|\nabla\varphi|^2)=-\frac{\nabla p}{\rho}+{\bf g}. $$ Casi hemos terminado, solo tenemos que notar que $$ {\bf g}=-\nabla U $$ con $U=gy$ y $\rho$, la densidad, se supone que para ser una constante. Entonces, tenemos $$ \nabla\left(\frac{\partial\varphi}{\partial t}+\frac{1}{2}|\nabla\varphi|^2+\frac{p}{\rho}+gy\right)=0. $$ Tras la integración, este es el resultado deseado siempre se le añade una integración constante de $-p_a/\rho$ a de acuerdo con el límite de los requisitos.