Encontrar la integral de una solución a una ecuación diferencial

Question

Deje $y$ ser una solución a la ecuación diferencial $$(1-x^2)y''-2xy'+6y=0$$ If $y(1)=2$ encontrar el valor de la integral $\int_{-1}^1y^2~dx$.

He tratado de integrar la ecuación diferencial que da $$\int_{-1}^1\left[(1-x^2)y''-2xy'\right]dx+\int_{-1}^16y~dx\\=\int_{-1}^1\Big[\frac d{dx}(1-x^2)y'\Big]dx+\int_{-1}^16y~dx\\=\int_{-1}^16y~dx=c$$ for some constant of integration $c$. ¿Qué debo hacer para encontrar el valor de la integral?

Answer 1

Usted puede reconocer fácilmente esta ecuación diferencial como la de Legendre de la ecuación diferencial de orden $2$. Usted puede ver aquí por referencia.

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Tenemos la solución a la Legendre de la ecuación diferencial como: $$y (x) = c_0y_1 (x) + c_2 y_2 (x)$$ with $y_1 (x), y_2 (x)$ defined as in the paper. Note that $y_1 (x)$ when $x=2$ is: $1-3x^2$. When, we define $c_0=-\frac12$, we get the Legendre polynomial $P_2 (x)$.

Generalmente, $y_2 (x)$ se ignora. Luego, hacer los cálculos con $y = c_0y_1 (x)$.