La demostración del teorema de Tychonoff requiere el axioma de elección, en general. Para los espacios de Hausdorff, basta con el teorema del primo de Boole. ¿Es posible identificar clases interesantes de espacios o de conjuntos de índices para los que basta con el marco ZF?
En particular, ¿qué sucede (si es que hay algo digno de mención) para un número contable de variedades riemannianas?
Por supuesto, no me interesan las respuestas triviales (como un número finito de espacios no vacíos).
Como resumen de lo complicada que es la relación Tychonoff / AC, véase estos papeles que muestran que para otras definiciones alternativas de compacidad (que podrían no ser equivalentes en ausencia de AC) vemos que la versión correspondiente de Tychonoff podría o no ser equivalente a AC (o versiones más débiles). (Véase este documento para comparar las propias definiciones).
No se necesita a Tychonoff para una gran clase de espacios para demostrar el axioma de elección: la prueba aquí muestra que si asumimos
El teorema de Tychonoff es válido para la clase de todos los espacios topológicos $(X,\mathcal{T})$ tal que $|\mathcal{T}| =4$ (que obviamente son todos compactos)
Entonces la AC completa ya debe ser cierta.
En ZF podemos ciertamente demostrarlo para la clase de todos los espacios con $|\mathcal{T}|= 2$ porque entonces $X$ es indiscreto y cualquier producto de espacios indiscretos es indiscreto y por tanto compacto.
¿Quizás AC ya está implícito por Tychonoff para topologías de tamaño 3? Creo que sí, porque basta (en la prueba enlazada) con definir la topología como $\{X_i, \{p_i\}, \emptyset\}$ Creo que, como @bof también se dio cuenta.
En cuanto a su caso contable, es mucho más débil. Incluso podría estar en ZF si su subclase de espacios (como los manifiestos riemannianos) es lo suficientemente pequeña. Dejaré que otros juzguen eso. Por ejemplo, podría ser diferente si los espacios son contables en segundo lugar y si se desea la compacidad secuencial u otras formas.)
En resumen: es sutil.
Para un producto contable de espacios finitos se necesita algo así como una elección contable, así que yo no estaría tan seguro
@Max es demostrable en ZF que un producto contable $\prod_n k_n$ con todos $k_n $ enteros, es compacto.
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Para los locales, el teorema se sostiene constructivamente.
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Sólo una observación de pasada (¿irrelevante?), que probablemente ya conoces, pero por si acaso: Tychonoff implica el axioma de elección, es decir, Tychonoff es equivalente al axioma de elección.
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@ziggurism He leído esta afirmación bastantes veces en los últimos días, y parece realmente interesante: ¿puedes señalar alguna referencia?
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ncatlab.org/nlab/show/Tychonoff+theorem+for+locales