$$\epsilon^\epsilon=?$ $ Donde$\epsilon^2=0$,$\epsilon\notin\mathbb R$. Existe una fórmula para la exponenciación de números duales, a saber:$$(a+b\epsilon)^{c+d\epsilon}=a^c+\epsilon(bca^{c-1}+da^c\ln a)$ $ Sin embargo, esta fórmula se descompone en múltiples lugares para$\epsilon^\epsilon$, produciendo muchas expresiones indefinidas como$0^0$ y$\ln 0$ . Entonces, aquí está mi pregunta: ¿qué es$\epsilon^\epsilon$ igual para los números duales ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Para demostrar que $\epsilon^{\epsilon}$ no existe
Si $\epsilon^{\epsilon}$ tiene un valor en el conjunto de la doble números y si $$\epsilon^{\epsilon}\not=\epsilon$$ then $$\epsilon^{\epsilon}-\epsilon=a+b\epsilon$$ and either $un$ or $b$ is different from zero. From here $$\epsilon\left[\epsilon^{\epsilon}-\epsilon\right]=\epsilon^2\left[\epsilon^{\epsilon-1}-1\right]=a\epsilon$$ por lo $a=0$$b\not=0$, $$\epsilon^{\epsilon-1}-1=b\epsilon.$$
Multiplicando ambos lados por $\epsilon$ tenemos que $$\epsilon^{\epsilon}=\epsilon.$$ Esta es una contradicción si $\epsilon^{\epsilon}$ que existe en absoluto.
Por otro lado, si suponemos de nuevo que $\epsilon^{\epsilon}$ existe en el conjunto de la doble números y si $$\epsilon^{\epsilon}=\epsilon$$ then multiplying both sides with $\epsilon$ we get that $$\epsilon\epsilon^{\epsilon}=0.$$ Desde $\epsilon^{\epsilon}\not=0$, según el indirecto hipótesis, $\epsilon$ se $0$. Es decir, $$\epsilon^{\epsilon}\not= \epsilon.$$ Esta es otra contradicción que muestra que $\epsilon^{\epsilon}$ no puede existir.
