Evaluar $\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(n)}{n^3}$

Question

Quiero encontrar $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(n)}{n^3}$ utilizando el método de este enlace: http://www.supermath.info/InfiniteSeriesandtheResidueTheorem.pdf

Desde $f(z)=\frac{\sin{z}}{z^3}$ tiene un polo en $z=0$ ,

Lo entiendo. $\displaystyle\sum_{n=-\infty ,n\neq0}^\infty\frac{\sin(n)}{n^3}=-Res_{z=0}\left(\frac{\pi\sin{z}\cot{(\pi z)}}{z^3}\right)=\frac{2\pi^2+1}{6}$ .

Es decir $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(n)}{n^3}=\frac{2\pi^2+1}{12}$ .

Pero wolfram calcula que $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(n)}{n^3}=\frac{(\pi-1)(2\pi-1)}{12}$ . https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+sin(n)%2Fn%5E3,+n%3D1+a+inf

¿En qué me equivoco?

Gracias.

Answer 1

La mejor manera de calcular estas series es utilizando funciones periódicas. Supongamos que f es periódica con periodo $2\pi$ y es igual a ${x^{3}\over3}-{{\pi x^{2}\over 2}}+{{\pi ^{2}x}\over 6}$ en el intervalo $[-\pi,\pi]$ . La serie de Fourier de esta función es $\Sigma_{n=1}^{\infty} {\sin(2nx)\over n^{3}}$ . Por lo tanto, sustituyendo x=0,5 el resultado salta a la vista.

Answer 2

No se puede aplicar el enfoque de ese documento directamente, ya que la hipótesis clave del teorema 3.2 $$ |f(z)|\le \frac{M}{|z|^k} $$ para algunos $k>1$ y todos los grandes $z$ , $|z|>R$ para algunos grandes $R$ no se satisface para $f(z)=\frac{\sin z}{z^3}$ ya que la función seno es exponencial en las direcciones imaginarias, $$ \sin(z)=\sin(x+iy)=\sin(x)\cosh(y)+i\cos(x)\sinh(y) $$