Problema de Matrix nilpotent diferente versión

Question

Tengo matrices$X,Y$ de dimensión$n$ con coeficientes reales que satisfacen lo siguiente:$XY+YX=c(YX-XY)$ donde$c$ es un número real. Si$c\neq0$, prueba que$(YX-XY)^n = 0$.

Hasta ahora, he podido mostrar que$YX-XY$ es singular. ¿Alguien puede ayudar?

Answer 1

Por la condición dada,$(c+1)XY=(c-1)YX$. Como$c\ne0$, ya sea$XY=kYX$ o$YX=kXY$ para algunos$|k|\ne1$. Sin embargo, como$XY$ y$YX$ tienen espectros idénticos, deben ser nilpotentes. Por lo tanto,$(YX-XY)^n=(k-1)(XY)^n=0$ cuando$XY=kYX$ y el análogo se mantiene cuando$YX=kXY$.