Cauchy vs Riemann integral una vez más

Question

El problema de mostrar la equivalencia entre Cauchy y Riemann integrales es un ejercicio con la sugerencia de que en C. R. Rosentrater, Variedades de Integraciónde 2015.

Estoy interesado en una dirección, precisamente la que figura en el ejercicio 32 del capítulo 3. Su opuesto, fácil de probar, está contenida en el ejercicio 38 capítulo 2.

En lo que sigue, $\mathcal P_L$ indica que la partición $\mathcal P$ marcados por la izquierda extremos de su subintervalos.
El símbolo $S_R$ indica una suma de Riemann.
Una de Cauchy suma es una suma de Riemann se refiere a una partición etiquetada por la izquierda extremos.

Autor sugiere en (b) una prueba por contradicción mediante el Cauchy criterio de integrabilidad; además se le aplique una típica caracterización de integrabilidad de Riemann, llamado allí "altura-anchura de los límites teorema".

Por conveniencia me recuerdan a las de Cauchy criterio de integrabilidad:

Deje $f$ ser un valor real de la función definida en $[a,b]$. A continuación, $f$ es de Cauchy integrable sobre $[a,b]\,$ si, y sólo si,$\,$ cualquier $\varepsilon>0$, podemos encontrar una $\delta>0$, de modo que siempre que $\mathcal P$ $\mathcal Q$ son particiones de $[a,b]$ $\|\mathcal P\|<\delta$ y $\|\mathcal Q\|<\delta$, $$|S_R(f,\mathcal P_L)-S_R(f,\mathcal Q_L)|<\varepsilon$$

Excepto para decir que no sería una mala idea, supongamos $f$ está delimitado también (me refiero a la declaración en el ejercicio de 32, por supuesto), no sé cómo utilizar sugerencia (a) por encima de todo. Estoy a la espera de una mayor pista al menos.
En resumen, la declaración de ser demostrado por Rosentrater la sugerencia es

Si $f$ es limitado y Cauchy integrable sobre$[a,b]$, $f$ es Riemann integrable sobre $[a,b]$

Recuerdo que de Cauchy integrabilidad no implica acotamiento.
Este problema aparece aquí y allá en la literatura, pero, hasta donde yo sé, las pruebas no son en todas las escuelas primarias. Tal vez Rosentrater la sugerencia se refiere a la primaria.
Espero que he publicado todo lo necesario.
Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Esto es realmente interesante +1. Basado en las anteriores respuestas / comentarios que he leído algunas pruebas de equivalencia de Cauchy y Riemann integrales, pero todos ellos son tan astutos y complicado que no puedo explicar a otra persona (lo que implica que no los entiendo yo).

Sugerencia a) parece simple, pero no estoy seguro de cómo usarlo con b). La idea es que podemos elegir $s_k, t_k$ en el intervalo de $[x_{k-1},x_{k}]$, de modo que sus valores están cerca de la inf y sup. Idealmente necesitamos para implicar un cierto número arbitrario $\epsilon>0$ y podemos elegir el $s_{k}, t_{k} $ tal que $$f(s_{k}) - \inf_{[x_{k-1},x_{k}]}f<\epsilon >\sup_{[x_{k-1},x_{k}]}f-f(t_k)$$ In fact for a suitable $\epsilon$ it is possible choose the points such that $|f(s_k) - f(t_k) |>h$. The fact that $s_{k+1}=t_{k+1}=x_{k+1}$ automatically ensures that $$\Delta s_{k} =s_{k+1}-s_{k}\geq x_{k+1}-x_{k}=\Delta x_{k} $$ Essentially based on two adjacent subintervals of $\mathcal{P} $ we create a single subinterval of partitions $\mathcal{P}_{l},\mathcal {P}_{u} $. Thus their norms can not exceed $\delta$. Also this exercise can be carried out over at least half of the subintervals where the oscillation of $f$ is greater than $h$. The subintervals of partition $\mathcal{P} $ where the oscillation of $f$ is less than $h$ and if they are not adjacent to those selected half of the subintervals (with oscillation greater than $h$) are retained as it in both partitions $\mathcal{P}_{u}, \mathcal{P}_{l} $. Thus their contribution to the Cauchy sum get canceled when we subtract Cauchy sums over these two partitions. The difference $$|C(\mathcal{P}_{u}) - C(\mathcal{P}_{l}) |$$ depends on those points $s_k, t_k$. The difference $$|f(x_{k-1})(s_k-x_{k-1})-f(x_{k-1})(t_k-x_{k-1})+f(s_k) (s_{k+1}-s_k)-f(t_k)(t_{k+1}-t_k)|$$ needs to be analyzed properly to complete the proof. The above difference should come out to be not less than $h\Delta x_{k} $ and then the difference between Cauchy sums is at least $hl/2$. Esta es la contradicción necesaria.