Serie de Taylor de una torre de poder

Question

Recientemente probé que la serie de Taylor de$\exp(\exp(x))$ está dada por$$\exp(\exp(x))=\sum_{n=0}^\infty \frac{eB_n x^n}{n!}$ $, donde$B_n$ son los números de campana .

Sin embargo, no puedo entender una serie de Taylor para la función$$\exp(\exp(\exp(x))) = \text{ ?}$ $ ¿Alguien sabe cómo encontrar esta serie de Taylor, tal vez en términos de los números de Bell o Stirling, o cualquier otra secuencia conocida? Los primeros términos de pareja son$$\frac{e^e}{0!}+\frac{e^{e+1}}{1!}x+\frac{e^{e+2}+2e^{e+1}}{2!}x^2 + \frac{e^{e+3}+6e^{e+2}+5e^{e+1}}{3!}x^3+\cdots$ $

Answer 1

Será el limpiador en lugar de calcular la serie de Taylor de

$$\exp(t (\exp(\exp(x) - 1) - 1) )$$

donde $t$ es un parámetro, a continuación, establezca $t = e$ y multiplicar por $e^e$. Esto es debido a que, como $\exp(\exp(x) - 1)$, cuyos coeficientes son los números de Bell, los coeficientes de esta serie de Taylor tiene una combinatoria de interpretación. Más precisamente, el yoga de la exponencial en la generación de funciones puede ser utilizado para mostrar que se cuentan los siguientes:

El coeficiente de $t^k \frac{x^n}{n!}$ es el número de maneras para crear una partición de un conjunto de tamaño $n$ a $k$ subconjuntos no vacíos, entonces a más de partición de cada uno de los subconjuntos en un número de subconjuntos no vacíos. Uno podría llamar a estos "nivel 2" conjunto de particiones.

Del mismo modo $\exp(\exp(\exp(\exp(x)))$ está relacionado con el "nivel 3" las particiones del conjunto, con un montón de random $e$s de todo, porque no ha restado $1$, y así sucesivamente.