¿Cuántos "cuartetos" hay?

Question

$2017 /1= 2017$, un primer;
$2018/2 = 1009$, una de las principales; y
$2019/3 = 673$, una de las principales.

Llame a una secuencia de un trío.
Si $2020/4 = 505$ fueron primo, entonces tendríamos un cuarteto y lo mismo para un quinteto, etc. Pero $505$ no es primo, así que no es un cuarteto. No he encontrado ninguna cuartetos (todavía) a pesar de los tríos no son difíciles de encontrar.

Pregunta: ¿cuántos cuartetos hay?

Vamos a identificar una secuencia inicial de el primer.
Observar que un prime puede ser un primer trío sólo si es $13$ o es $=1$ o $37$ mod $60$.
Y puede ser un primer cuarteto sólo si es $=1$ mod $120$.
Mis cálculos, con la asistencia de Alexa, indican que el trío los primos de menos de $2017$ son:
$13, 37, 157, 421, 541, 877, 1201, 1381, \text { and } 1621.$

EDIT: $421$ es no un trío principal. No puedo culpar a este en Alexa.

Answer 1

El trío de los números primos son A036570 en OEIS (siempre es una buena idea para buscar una secuencia en la OEIS si se ha logrado calcular su primer par de términos) y que la entrada tiene un enlace para el que el cuarteto de los números primos, que son A278585 más uno; la más pequeña es aparentemente $12721$, donde

• $12721$ es primo,
• $12722 = 2 \cdot 6361$ $6361$ es primo,
• $12723 = 3 \cdot 4241$ $4241$ es primo, y
• $12724 = 4 \cdot 3181$ $3181$ es primo.

Probablemente hay infinitamente muchos de estos, aunque este es bastante más allá de la tecnología actual; de lo que resultaría de una adecuada generalización de la primer k-tupla conjetura, y supondría que existen infinitos números primos $p$ tal que $2p-1$ es primo, que es tan abierto como la infinitud de los números primos de Sophie Germain.