Podemos seleccionar valores para variables múltiples funciones deliberadamente?

Question

Estoy trabajando a través de funciones multivariables y derivados de funciones multivariables. Ya que no estoy muy familiarizado aún con funciones multivariables me preguntaba acerca de los siguientes:

En una función como $f(x,y)=x^2+y$, son x e y independientes el uno del otro y nos permite elegir los valores para cada deliberadamente?

Decir que para el 1 de x y el 99 por y?

Hasta donde tengo entendido que el tema me parece que, de hecho, puedo deliberadamente elegir cualquier valor de y se obtiene una salida en una tercera dimensión. En lugar de una curva que va a recibir una superficie que representa todas las combinaciones posibles de x y de y. Mientras la función no está limitado como la ecuación de un círculo, $x^2+y^2=r^2$. Pero no estoy seguro de si llegué a la conclusión de que esta correctamente.

Supongo que es bastante fácil, o tal vez incluso pregunta tonta pero yo aún no has dado cuenta de esto.

Answer 1

Esta pregunta no es "tonto" a todos! Yo consideraría más bien "el punto" de cálculo multivariable.

En general, como usted ha mencionado, el conjunto $$G(f)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3|z=f(x,y)\}$$ de hecho es un subconjunto de a $\mathbb{R}^3$ y, en general, una superficie. Así, usted puede elegir arbitrariamente coordintates $x,y$ $f$'s de dominio. O, para llevarlo al nivel multidimensional, usted puede elegir los elementos de $\mathbb{R}^2$ de la forma $(x,y)$ que no pertenecen en $f$'s de dominio.

Ahora, como para el círculo, bien, $x^2+y^2=r^2$ no es una función con variables libres $x,y$ - usted di cuenta de que no son libres. Sin embargo, si consideramos la función de $g(x,y)=x^2+y^2$ esta es una función de $x,y$ definido en $\mathbb{R}^2$.

Ahora, si las dos coordenadas tienen algún tipo de dependencia de uno a otro, la cosa se pone más compicated. Imaginar la situación en la que $$y=3x+2$$ En ese caso, es claro que: $$f(x,y)=f(x,3x+2)=h(x)$$ para algunos otros, de una variable, en función de $h$. En nuestro caso, si $f(x)=x^2+y$,$h(x)=x^2+3x+2$. Usted puede imaginar que esta dependencia entre el $y,x$ como una opción de una "ruta" en la superficie que $f$ define.

Por último, en muchos casos, veo muchas dimensiones situaciones - ya, bueno, para $n\geq4$, $\mathbb{R}^n$ es un poco de "miedo" lugar - como un grado de libertad. Con dos variables libres de tener la capacidad de moverse sobre una superficie, mientras que con una variable libre, tengo la capacidad para mover más de una curva, etc.

Answer 2

En general $$f(x,y): D \subseteq \mathbb{R^2}\to\mathbb{R}$$is defined in a subset $D$ of $\mathbb{R^2}$, que es el avión real.

En su caso $$f(x,y)=x^2+y$$

se define para cada valor de (x,y) lo $D\equiv \mathbb{R^2}$.