Mostrar matriz es nilpotent

Question

He matrices $A,B$ de la dimensión de $n$ con coeficientes reales que satisfacen la siguiente: $A^2-B^2=c(AB-BA)$ donde $c$ es un número real. Si $c\neq0$ , demuestran que, a $(AB-BA)^n = 0$.

Hasta ahora, he sido capaz de demostrar que $AB-BA$ es singular. Alguien puede ayudarme?

Answer 1

Como usted ha mencionado en su otra pregunta, esto es sólo una variante de la pregunta.

Deje $X=A-B$$Y=A+B$. Entonces \begin{align} XY&=(A-B)(A+B)=(c+1)(AB-BA),\\ YX&=(A+B)(A-B)=(c-1)(AB-BA). \end{align} Por lo tanto $XY-YX = 2(AB-BA)$$XY+YX = 2c(AB-BA)$, es decir, $XY+YX=c(XY-YX)$ algunos $c\ne0$. Así, el resultado de la citada pregunta muestra que $(XY-YX)^n=0$. Por lo tanto $(AB-BA)^n=0$.