La Jacobi-Madden ecuación de $a^4+b^4+c^4+d^4 = (a+b+c+d)^4$ y disfrazado ternas Pitagóricas

Question

I. La Jacobi-Madden ecuación, $$a^4+b^4+c^4+d^4 = (a+b+c+d)^4$$

es equivalente a un disfrazado triple de Pitágoras, $$(a^2+ab+b^2)^2+(c^2+cd+d^2)^2 = \big((a+b)^2+(a+b)(c+d)+(c+d)^2\big)^2$$

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II. Un caso especial de la de Descartes círculo teorema,

$$2(a^4+b^4+c^4+d^4)=(a^2+b^2+c^2+d^2)^2$$

Euler demostró que esto es justo,

$$(2ab)^2+(2cd)^2 = (a^2+b^2-c^2-d^2)^2$$

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III. El Fermat el cuarto grado,

$$a^4+b^4 = c^4$$

se convierte,

$$(a b - a c + b c + c^2)^2 + (a b + a c - b c + c^2)^2 = (a^ 2 + b^2 + c^2)^2$$

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IV. La ecuación de Pell,

$$x^2-2y^2 = -1$$

es también,

$$x^2 + (y^2 - 1)^2 = y^4$$

así como,

$$\Big(\frac{x-1}{2}\Big)^2+\Big(\frac{x+1}{2}\Big)^2 = y^2$$

con la última muestra hay infinitamente muchos triples donde las piernas se diferencian sólo por $1$.

P: ¿hay otros ejemplos de simples de segundo grado o ecuaciones de cuarto grado que puede ser expresado como una terna Pitagórica?

Answer 1

No estoy seguro si esto es lo que tenía en mente, pero supongamos que tenemos dos distintas triangular números cuyo producto es un cuadrado. Decir $[u(u+1)/2][v(v+1)/2] = t^2$ donde $u > v > 0$. Definir $a = 4t$, $b_1 = u - v$, $b_2 = u + v + 1$, $c = 2uv + u + v$. Luego de una rutina de cálculo da $$a^2 + b_1^2 = c^2,\quad a^2 + b_2^2 = (c + 1)^2.$$ Tenemos así dos de Pitágoras a los triángulos con un lado común y hipotenusas diferentes por $1$. Por ejemplo $u = 8$, $v = 1$ da $(24, 7, 25)$$(24, 10, 26)$. Alternativamente, usted puede comenzar con dos de estos triángulos y revertir el procedimiento, como es fácil de demostrar.