Encontrar las funciones de la satisfacción de $f(f(x))+f(x)+x=0$

Question

Encontrar el número de continuo de las funciones de $f:\Bbb R\to\Bbb R$ que cumplir con los siguientes funcional de la ecuación de $$f(f(x))+f(x)+x=0$$

Answer 1

Hay $2^{2^{\aleph_0}}$ tales funciones. Dado cualquier partición de $\mathbb{R}$ en tres elementos de los subconjuntos de a$\{a,b,c\}$$a+b+c=0$, se puede obtener una función de este tipo $f$ tomando $f$ a ser una permutación cíclica de cada uno de los tres elementos de los subconjuntos. Puesto que hay dos maneras diferentes para cíclicamente permutar cada subconjunto y $2^{\aleph_0}$ subconjuntos de la partición, esto da $2^{2^{\aleph_0}}$ diferentes funciones. Ya que hay sólo $2^{2^{\aleph_0}}$ funciones $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ a todos, no puede haber más de $2^{2^{\aleph_0}}$ funciones con la propiedad requerida.

Queda demostrado que ese tipo de partición existe. Uno puede ser construido por una simple inducción transfinita argumento. Es decir, enumerar los números reales como $(x_\alpha)_{\alpha<2^{\aleph_0}}$, y de manera inductiva definir triples $(a_\alpha,b_\alpha,c_\alpha)$ por cada $\alpha<2^{\aleph_0}$ como sigue. Después de haber definido $(a_\beta,b_\beta,c_\beta)$ todos los $\beta<\alpha$, vamos a $S$ ser el conjunto de todos los números $a_\beta$, $b_\beta$, y $c_\beta$$\beta<\alpha$. Tenga en cuenta que $|S|\leq 3|\alpha|<2^{\aleph_0}$. Deje $a_\alpha=x_\gamma$ donde $\gamma$ es el menor ordinal tal que $x_\gamma\not\in S$. Deje $b_\alpha=x_\delta$ donde $\delta$ es el menor ordinal tal que $x_\delta\not\in S$ $-a_\alpha-x_\delta\not\in S$ (sólo hay $|S|<2^{\aleph_0}$ opciones de $\delta$ que no cada condición, así que esto es posible). Por último, vamos a $c_\alpha=-a_\alpha-b_\alpha$. Por nuestra elección de $b_\alpha$, $c_\alpha\not\in S$.

Esto le da una secuencia de triples $(a_\alpha,b_\alpha,c_\alpha)$, en la que cada número real puede aparecer en más de una vez cada triple sumas a $0$. Además, cada número real aparece en algunas triple (es fácil ver por inducción que si $a_\alpha=x_\gamma$,$\gamma\geq\alpha$, lo $x_\alpha$ aparece a más tardar el $\alpha$th paso). Por lo tanto esto le da a la partición necesaria de $\mathbb{R}$.

[Más generalmente, este argumento funciona con $\mathbb{R}$ reemplazado por cualquier infinita grupo abelian $G$, para dar a los que no se $2^{|G|}$ funciones $f:G\to G$ tal que $f(f(x))+f(x)+x=0$ todos los $x\in G$.]

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Por otro lado, no hay funciones que son continuas. De hecho, tenga en cuenta que la conexión de los en $f(x)$ $x$ en el funcional de la ecuación da $$f(f(f(x)))+f(f(x))+f(x)=0$$ which combined with the original equation gives $f(f(f(x)))=x$. Thus $f$ is a bijection, and all of its cycles have either $1$ element or $3$ elements. If $f$ is continuous, then it must be monotone, which means $f$ cannot cyclically permute any set of three numbers. Thus every cycle must have only $1$ element, and $f(x)=x$ for all $x$. Esto, obviamente, no funciona, así que no hay tal función continua existe.

Answer 2

Otra prueba al $f(x)$ es continua.

Como ya se señaló Michael Burr y Eric Wofsey, $f$ satisfecho $f^{(3)}(x)=x$, lo que muestra que $f$ es un bijection. Por eso, $f$ es monotono como un continuo de inyección.

El fucntions $f$ $f^{-1}$ comparten la misma monotonía, y desde $f(x)+f^{-1}(x)=-x$, $f$ debe ser decreciente. En consecuencia, $f^{(3)}(x)$ está disminuyendo, lo que da una contradicción ya que el $f^{(3)}(x)=x$.