Demostrar que dos polinomios son constantes

Question

Se sabe que $P(x^2+x+1)=Q(x^2-x+1)$. Cómo puedo probar que $P$ $Q$ son constantes?

Answer 1

Set $x=0$ y consigue $P(1)=Q(1)$

Con $x=1-0=1$ obtener $P(3)=Q(1)$ $x=-1-0=-1$ da $P(1)=Q(3)$

Con $x=-1-1=-2$ obtener $P(3)=Q(7)$ e con $x=1-(-1)=2$ hay $Q(3)=P(7)$

Observe que $x^2+x+1=(-1-x)^2+(-1-x)+1$$x^2-x+1=(1-x)^2-(1-x)+1$.

Así que usted puede utilizar vieta saltar con la relación funcional para mostrar (para $n\in \mathbb Z$)$$\dots P(7)=Q(3)=P(1)=Q(1)=P(3)=Q(7)= \dots$$

Pero un polinomio que toma el mismo valor en un número infinito de puntos es constante.

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Para ser más explícito $$P(n^2+n+1)=Q(n^2-n+1)=Q((1-n)^2-(1-n)+1)=P((1-n)^2+(1-n)+1)=$$$$[=P(n^2-3n-3)]=P((-1-(1-n))^2+(-1-(1-n))+1)=P((n-2)^2+(n-2)+1)$$ es suficiente.