Cohomology de álgebras asociativas

Question

Deje $A$ ser un álgebra asociativa sobre un anillo conmutativo $k$. He leído declaraciones diciendo que Hochschild (co)homología es la "correcta" a la noción de la (co)homología de álgebras asociativas. Al $A$ es proyectiva sobre $k$, el Hochschild cohomology, dicen, puede ser escrito como $Ext^*_{A \otimes A^{op}}(A,A)$ donde $A^{op}$ es el opuesto de álgebra, es decir, $A$ $xy$ redefinido a ser $yx$.

Por otro lado, cuando se $A$ está aumentada, la ext-grupo $Ext^*_A(k,k)$ es también conocida como la cohomology de $A$. ¿Cuál es la diferencia entre estas dos nociones de cohomology, y ¿por qué debería elegir uno sobre el otro?

Answer 1

En mi opinión Hochschild cohomology es el más interesante cohomology en asociativa (y me atrevo a decir álgebras conmutativas). Hasta ahora todo lo que se ha dicho es sobre los diferentes métodos de cálculo. Pero también hay muchas aplicaciones y formas de visualización.

Omitir el siguiente párrafo si usted quiere, es sólo un punto.

El que se ha quedado en mi mente es el aplicación a la deformación de la teoría. El Hochschild cochain complejo es en realidad, el objeto de interés en la deformación de la teoría, su homología es sólo una invariante de la misma y captura las deformaciones infinitesimales. El cochain complejo lleva un determinado algebraico de estructura; es un álgebra de para los soportes operad. Y, a continuación, hay la célebre (y muchas veces probado ;-)) Deligne conjetura de que dice que puede ser visto como un homotopy Gerstenhaber álgebra. Finalmente hay Kontsevich la formalidad resultado que dice que para el buen álgebras conmutativas que mirar homología y su Gerstenhaber álgebra la estructura de la realidad es la captura de todos los información acerca de la Hochschild cochains y por lo tanto la deformación la teoría del álgebra.

De todos modos no me refiero a la escritura, pero llegado demasiado excitada, mi punto es que en la escritura de esta respuesta fue decir que hay otras teorías de homología.

Por ejemplo, hay la barra de homología. Esta homología es poco conocido que es una gran lástima, porque es realmente especial! Hay una muy buena razón por la que no se ha estudiado, sin embargo, y eso es porque para un unital álgebra su homología es siempre cero, pero aún así es muy interesante, porque el complejo de cadena de un coalgebra y no estamos interesados en su homotopy tipo como un complejo y no debe estar tomando su homología a todos!!!! El coalgebra en realidad le da generadores y relaciones para el álgebra, es la derivada functor de $A \mapsto A/(A.A)$ a partir de la categoría de álgebras asociativas para espacios vectoriales.

Pero a los chicos les gusta tomar homología, así que debo darle una mejor razón para el estudio de la barra de homología. Supongamos que usted tiene un aumentada álgebra, por lo que podemos dividir la identidad off y escribir

$A = k\oplus A'$

A continuación, la barra de homología de $A'$ no es necesariamente cero y da interesantes invariantes de la álgebra. En el char 0 conmutativa caso de que esto está bien estudiado, que los chicos puedan conocer como parte de racional homotopy teoría. La propiedad conmutativa de la barra de la homología de la cohomology anillo de un agradable espacio es la racional homotopy del espacio.

Answer 2

A pesar de mi comentario señalando que, dado que $k$ no es un $A$-módulo de los grupos $\text{Ext}_A^\ast(k,k)$ no están bien definidos, Hochschild cohomology es sin duda el preferido de las opciones. Algunas de las razones para escoger son

• El Hochschild cohomology grupos para un buen álgebra conmutativa coinciden con las formas diferenciales. Este es el Hochschild-Kostant-Rosenberg isomorfismo.
• Que las medidas de separación (0-ésimo grupo) de la álgebra, formal smoothess (1er grupo), rigidez (grupo 2) y obstrucciones a extender deformaciones infinitesimales (en el sentido de Gerstenhaber) para completar formal deformaciones (3er grupo).
• Está relacionado con cíclico cohomology a través de la INICIATIVA de la secuencia, lo que significa que puede servir como una buena aproximación a la cíclica cohomology al que es muy difícil de calcular.

No se deje engañar por la $A\otimes A^{op}$ cosa, $A$ visto como un módulo más de $A\otimes A^{op}$ es la misma cosa vista como un bimodule sobre sí mismo.

Answer 3

Para una buena álgebras, Hochschild cohomology calcula 'todo' otro interesante cohomologies. Por ejemplo, ya está en Cartan-Eilenberg que si $M$ $N$ son de izquierda $A$-módulos, a continuación,$\mathrm{Ext}_A^\bullet(M,N)=H^\bullet(A,\hom(M,N))$, donde a la derecha $H^\bullet(A,\mathord-)$ es Hochschild cohomology con los coeficientes, y $\hom(M,N)$ es el espacio de homomorphisms sobre la base de campo se convirtió en un $A$-bimodule el uso de la izquierda $A$-módulo de estructuras de $M$ y $N$.

Una general de tonterías explicación del hecho de que Hochschild cohomology de alguna manera es preferido es el de que un álgebra asociativa es un álgebra sobre el $\mathcal{A}ss$ operad, que es un Koszul operad, y un Koszul operad determina un canónica cohomology teoría para su álgebras: en el caso de $\mathcal{A}ss$ se obtiene de esta manera Hochschild cohomology. (Del mismo modo, el operad $\mathcal{L}ie$ cuyo álgebras son álgebras de Lie recoge la costumbre Mentir álgebra cohomology, y $\mathcal{C}omm$, el operad de álgebras conmutativas, recoge el Harrison cohomology. Esta explicación se rompe, por ejemplo, álgebras de Hopf-que no son las álgebras de un operad-y entonces usted no tiene un claro ganador entre los cohomologies: entonces usted tiene $\mathrm{Ext}_H^\bullet(k,k)$ y el Gerstenhaber-Schack cohomology como alternativas, tanto bastante 'preferido',...)