¿Cuál es la aproximación más cercana a $\pi$ utilizando los dígitos $0-9$ ¿Sólo una vez?

Question

¿Cuál es la aproximación más cercana a $\pi$ alcanzable con cada dígito $0-9$ no más de una vez, y las operaciones básicas de raíces, paréntesis, exponenciación, suma-resta, concatenación, división y factorial?

Esto se mencionó en otra pregunta y me pareció divertido. Se me ocurre bastante rápido (con un poco de ayuda de Ramanujan):

$$\frac{7}{3}\left(1+\sqrt{\frac{6}{50}}\right)-\frac{8}{2\times4\times9!}\approx3.1415958$$

Desafío a cualquiera a superar los 20 dígitos decimales de precisión.

Answer 1

$\frac{\log (5280^{\sqrt{9}} + 3!! + 4! )}{1 \times \sqrt{67}} \approx 3.14159265358979324$ , bueno para 18 plazas

Si no te gustan los troncos,
$(8\times9 +\frac{52-0!}{73})(\sqrt{-1}^{\sqrt{-4}}) \approx 3.14159266$ , bueno para 8 lugares de precisión.

$\sqrt{\sqrt{\frac{2143}{5!!+7}}} \approx 3.141592653$ , bueno para 9 lugares de precisión.

$3 \sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{20-\frac{4\times8}{9\times5 - 7 - 1}}}}}}} \approx 3.141592652$ , bueno para 9 lugares de precisión.

Para $e$ Desafío a la gente a superar la aproximación de Sabey de $(1+9^{-4^{7\times6}})^{3^{2^{85}}}$ que sólo tiene una precisión de 18457734525360901453873570 dígitos decimales.

Answer 2

No puedo probarlo, pero creo que podemos acercarnos lo máximo posible empezando por $1234567890$ tomando un cierto número de factoriales, y luego tomando raíces cuadradas hasta obtener un número menor que $\pi^2$ . Heurísticamente obtenemos un número aleatorio en el intervalo $[\pi, \pi^2]$ cuyo logaritmo está uniformemente distribuido por lo que deberíamos ser capaces de acercarnos tanto como queramos a $\pi$ tomando suficientes factoriales.

Answer 3

Mi respuesta utiliza muchas raíces cuadradas anidadas, así que escribiré $n$ raíces cuadradas anidadas en $x$ como $\sqrt{^n x}$ para evitar escribirlos todos. Evaluado con Wolfram Alpha.

$$\sqrt{^5 70} - \sqrt{^{15} 9!} + \sqrt{^{23} 8!} + \sqrt{^{34} 14!} + \sqrt{^{36} .5} + \sqrt{^{41} 2} - \sqrt{^{46} .6} \approx \pi + 5.477.. \times10^{-16} $$

Aquí hay algo que debería ser equivalente y que se puede conectar a Wolfram Alpha: 70^(1/2^5) - 9!^(1/2^15) + 8!^(1/2^23) + 14!^(1/2^34) + (5/10)^(1/2^36) + 2^(1/2^41) - (6/10)^(1/2^46)

Básicamente, la parte fraccionaria de $\sqrt{^5 70}$ es una buena aproximación para la parte fraccionaria de $\pi$ . Entonces la parte fraccionaria de $\sqrt{^{15} 9!}$ es una buena aproximación para el error de la parte fraccionaria restante. Y así sucesivamente, con un poco de delicadeza para que la parte entera funcione bien. Encadenar un montón de raíces cuadradas en cualquier cosa siempre dará algo que ayude al menos un poco, ya que puedes obtener números arbitrariamente cercanos a $1$ . Hice una búsqueda codiciosa bastante simple.

Seguramente es posible hacerlo mejor con este enfoque, pero estaba a punto de que el punto flotante de doble precisión tuviera problemas al representar $(1 \pm \text{error})$ de todos modos.

Answer 4

Haciendo un poco de trampa con los decimales, pero muy, muy sencillo:

$3.8415926 - 0.7$

También:

$3 + 1/7 - (6/((9480/2)+5)) \approx 3.1415926539214 \approx \pi + 3.316 \times 10^{-10} $

Answer 5

$$\frac{354 + (0!)^8}{\sqrt{12769}} = \frac{355}{113} \approx 3.1415929203$$ que está cerca de $\pi$ con un valor absoluto de error de $2.6 \times 10^{-7}$ .

Esto proviene de una de las aproximaciones convergentes de la expansión de la fracción continua de $\pi$ .

Estoy tratando de encontrar una variación un poco más precisa de esto.

EDIT: Esta es una interpretación muy liberal de las reglas, pero si permitimos factoriales de no enteros entonces podemos obtener una fórmula exacta para $\pi$ como por ejemplo:

$$\pi = \left(\frac{3}{2}\right)!\times\left(\frac{6}{4}\right)!\times\frac{8}{9}\times(7-5)\times(1+0)$$

Esto utiliza el hecho de que $\left(\frac{3}{2}\right)! = \Gamma\left(\frac{5}{2}\right) = \frac{3\sqrt{\pi}}{4}$ (probablemente haya otras variantes más bonitas).