Supongamos que queremos evaluar esta suma: $$\sum_{x=2}^\infty \ln(x^3+1)-\ln(x^3-1)$$ Podemos reescribir la suma como $$\ln\left(\prod_{x=2}^\infty \frac{x^3+1}{x^3-1}\right)$$ Podemos dividir el producto en dos productos: $$\ln\left(\prod_{x=2}^\infty \frac{x+1}{x-1}\right)+\ln\left(\prod_{x=2}^\infty \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}\right)$$ Estos son los dos telescópica productos! Podemos reescribir como $$\ln\left(\prod_{x=2}^\infty \frac{(x+2)-1}{x-1}\right)+\ln\left(\prod_{x=2}^\infty \frac{(x-1)^2+(x-1)+1}{x^2+x+1}\right)$$ Conectar los números hace que este patrón más obvia; $$\ln\left(\prod_{x=2}^\infty \frac{\color{verde}{3}}{1}\frac {\color{red}{4}}{2} \frac{\color{blue}{5}}{\color{verde}{3}} \frac{\color{bluedark}{6}}{\color{red}{4}} \right) + \ln\left(\prod_{x=2}^\infty \frac{3}{\color{verde}{7}} \frac{\color{verde}{7}}{\color{red}{13}} \frac{\color{red}{13}}{\color{blue}{21}} \right)$$ Simplificando, obtenemos que la suma es igual a $$\ln(1/2)+\ln(3)=\ln\left(\frac 32 \right) \approx 0.405465108108164381978013115464349136571990423462494197614$$ Sin embargo, cuando me pongo la suma en Wolfram Alpha directamente, me sale el siguiente número: $$0.4054588737136331726677370820628648457601892466568342890929$$
¿Por qué son estos dos números diferentes? No es una pequeña diferencia; es en el 5º número después del punto decimal! ¿Cómo puede Wolfram hacer este tipo de error?
