Ecuación funcional: ¿Qué función es la de su inversa ' recíproco s?

Question

El hecho de que tantos estudiantes confunden la notación inversa funcional $$f^{-1}(x)$ $ con inverso multiplicativo notación$$ [f(x)]^{-1} me puso a pensar... ¿existe una función cuyo inverso es su inversa? ¿Es decir, hay una función $f:\mathbb R_+\mapsto \mathbb R_+$ cuyo inverso funcional es también su inverso multiplicativo, así que ese % $f^{-1}(x)=[f(x)]^{-1}, \space\space\space \forall x\in\mathbb R_+$alguna idea? I te imponen la restricción de continuidad para evitar desagradables soluciones.

Answer 1

No, es imposible.

Si $f: (0,\infty) \to (0,\infty)$ es continua y existe $f^{-1}$, $f$ está aumentando o disminuyendo. Si es aumento de $f$, $f^{-1}$ está aumentando pero $1/f$ está disminuyendo. Si está disminuyendo $f$, $f^{-1}$ está disminuyendo pero $1/f$ está aumentando.

EDICIÓN: Sin embargo, $f: \mathbb R \backslash \{0\} \to \mathbb R \backslash \{0\}$ es posible. Tomar

$$f(x) = \cases{ -x & if $x > 0$ \cr -1 / x y si $x < 0$ \cr}$$

Answer 2

% Llamada $g=\ln\circ f\circ \exp:\Bbb R\to\Bbb R$. Entonces, $g^{-1}=\ln\circ f^{-1}\circ \exp=\ln\frac1{f\circ \exp}=-g$.

Por lo tanto, queremos que los homeomorphisms $g:\Bbb R\to\Bbb R$ tal que $g^{-1}=-g$. Pero el Homeomorfismo $\Bbb R\to\Bbb R$ funciones continuas estrictamente monótonos. Y si $g$ es estrictamente monótona, $g^{-1}$ debe ser monótona del mismo signo. Esto no es consistente con el $g^{-1}=-g$. Así, no es ningún tal $g$ y no hay tal $f$.