Suma de cuadrados en progresión geométrica

Question

En la progresión geométrica $b_1, b_2, b_3,\ldots, b_1+b_3+b_5=10$ y $b_2+b_4=5$ . Halla la suma de los cuadrados de los cinco primeros términos.

Si resuelves el primer término y el cociente común, obtendrás radicales desagradables y entonces elevar al cuadrado y sumar no es una buena opción. ¿Cómo lo hago entonces?

Answer 1

Una pista: $(b_1+b_3+b_5)^2-(b_2+b_4)^2$ .

Más sugerencias: $(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz$ , $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ (esto lo sabes, supongo), ahora utiliza el hecho de que en la progresión geométrica se tiene $b_{n-1}b_{n+1}=b_{n}^{2}$ .

Answer 2

Dejemos que $b_1=a$ y la relación común sea $r$ . Dado que $$a+ar^2+ar^4=10 \qquad\text{and}\qquad ar+ar^3=5.$$ ¿Cuál es el valor de $$(a)^2 +(ar)^2 +(ar^2)^2 +(ar^3)^2 +(ar^4)^2?$$ Date cuenta de eso: $$(a+ar^2+ar^4)^2 -(ar+ar^3)^2$$ se simplifica a la suma requerida. Al sustituir: $$(10)^2 -(5)^2 = (10+5)(10-5) = 75.$$