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Projectivity de $U(\mathfrak(g))$ $U(\mathfrak(b))$- módulo de

Deje $\mathfrak{g}$ ser un semisimple Mentira álgebra, y $U(\mathfrak{g})$ ser su envolvente álgebra, con un triangular de descomposición $$ U(\mathfrak{g}) = U(\mathfrak{n}^-) \otimes_\Bbbk U(\mathfrak{h}) \otimes_\Bbbk U(\mathfrak{n}) = U(\mathfrak{n}^-) \otimes_\Bbbk U(\mathfrak{b}).$$

Es $U(\mathfrak{g})$ un proyectiva (a la derecha) $U(\mathfrak{b})$-módulo?

Creo que esto es cierto, a menos que el siguiente es incorrecto:

Considere la posibilidad de cualquier derecho $U(\mathfrak{b})$-módulo de $M$, y deje $n \geqslant 1$. Entonces

\begin{align*} \text{Ext}_{U(\mathfrak{b})}^n(U(\mathfrak{g}),M) &= \text{Ext}_{U(\mathfrak{b})}^n(U(\mathfrak{n}^-) \otimes_\Bbbk U(\mathfrak{b}) ,M) \\ &\cong \text{Ext}_{\Bbbk}^n(U(\mathfrak{b}), \text{Hom}_{U(\mathfrak{b})}(U(\mathfrak{n}^-),M)) \\ & = 0 \end{align*} donde el isomorfismo sigue desde $U(\mathfrak{n}^-)$ es proyectiva como un derecho $\Bbbk$-módulo, y la última igualdad se sigue desde $\Bbbk$ es semisimple. Por lo tanto $U(\mathfrak{g})$ un proyectiva (a la derecha) $U(\mathfrak{b})$-módulo.

Suponiendo que esto es correcto, siento que tiene que haber una manera más sencilla de probar esto. Es allí?

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rafaelm Puntos 613

Usted puede tomar un $\{b_i\}$$\mathfrak b$, y la extendemos a $\{c_j,b_i\}$ base para $\mathfrak g$ (poner el $\mathfrak b$-parte en el lado derecho). Ahora lo uso para hacer de Poincaré-Birkhoff-Witt base para $U(\mathfrak{g})$. Ordenó monomials en $\{c_j\}$ constituirá de forma gratuita por $U(\mathfrak g)$ derecho $U(\mathfrak b)$-módulo. Por lo que es libre, y por lo tanto proyectivas.

Edit: Como dijo Tobias Kildetoft, funciona para cualquier subalgebra de $\mathfrak g$, e $\mathfrak g$ no necesariamente semisimple.

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