Deje $\mathfrak{g}$ ser un semisimple Mentira álgebra, y $U(\mathfrak{g})$ ser su envolvente álgebra, con un triangular de descomposición $$ U(\mathfrak{g}) = U(\mathfrak{n}^-) \otimes_\Bbbk U(\mathfrak{h}) \otimes_\Bbbk U(\mathfrak{n}) = U(\mathfrak{n}^-) \otimes_\Bbbk U(\mathfrak{b}).$$
Es $U(\mathfrak{g})$ un proyectiva (a la derecha) $U(\mathfrak{b})$-módulo?
Creo que esto es cierto, a menos que el siguiente es incorrecto:
Considere la posibilidad de cualquier derecho $U(\mathfrak{b})$-módulo de $M$, y deje $n \geqslant 1$. Entonces
\begin{align*} \text{Ext}_{U(\mathfrak{b})}^n(U(\mathfrak{g}),M) &= \text{Ext}_{U(\mathfrak{b})}^n(U(\mathfrak{n}^-) \otimes_\Bbbk U(\mathfrak{b}) ,M) \\ &\cong \text{Ext}_{\Bbbk}^n(U(\mathfrak{b}), \text{Hom}_{U(\mathfrak{b})}(U(\mathfrak{n}^-),M)) \\ & = 0 \end{align*} donde el isomorfismo sigue desde $U(\mathfrak{n}^-)$ es proyectiva como un derecho $\Bbbk$-módulo, y la última igualdad se sigue desde $\Bbbk$ es semisimple. Por lo tanto $U(\mathfrak{g})$ un proyectiva (a la derecha) $U(\mathfrak{b})$-módulo.
Suponiendo que esto es correcto, siento que tiene que haber una manera más sencilla de probar esto. Es allí?