las condiciones no son suficientes para asegurar que el mapa de $d:X\times X \to\mathbb{R}$ es una métrica en el set $X$

Question

Muestran que las condiciones:

(i) $d(x,y)=0$ fib $x=y(x,y\in X)$ y
(ii) $d(x,z)\le d(x,y)+ d(y,z), \forall x,y,z\in X$

no son suficientes para garantizar que el mapa de $d:X\times X \to\mathbb{R}$ es una métrica en el set $X$

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Alguien puede proporcionarme la respuesta por favor.Estoy completamente stuk onit.

Answer 1

De una forma más natural ejemplo: supongamos $\Gamma$ ser finito ponderado orientado multigraph. Si $x, y\in \Gamma$ son dos vértices, podemos definir $d(x,y)$ como la longitud de la menor orientado a camino entre el$x$$y$.

• Si todo el peso es positiva, entonces la $d(x,y)=0$ fib $x=y$.
• $d(x,y) \leq d(x,z)+d(z,y)$ de todos los vértices $x,y,z \in \Gamma$.
• Si $e,f$ son dos bordes de diferentes pesos entre dos vértices $x,y \in \Gamma$, $d(x,y) \neq d(y,x)$.

Por ejemplo, los gráficos pueden ser utilizados para clasificar a las rutas de senderismo con respecto a sus dificultades. (Y claro, es más fácil ir hacia abajo de una colina en lugar de subir, por lo que la "distancia" no es simétrica.)

Answer 2

Otro ejemplo en $\mathbb{R}$: $$\delta(x,y)= \left\{ \begin{array}{cl} |x-y| & \text{if} \ x \leq y \\ \frac{1}{2}|x-y| & \text{if} \ x>y \end{array} \right. .$$

Usted puede verificar que $\delta(x,y)=0$ fib $x=y$$\delta(x,y) \leq \delta(x,z)+\delta(z,y)$. Sin embargo, $\delta(x,y)= \delta(y,x)$ fib $x=y$.