Cómo imaginar $X^2+Y^2-1=0$ en $C^2$, $X$, $Y$ ambos complejos

Question

Al igual que el título, con un gráfico de si es conveniente, yo estaba leyendo Mumford del libro, una imagen me hace confuso:

Podría alguien que me lo explique, gracias.

Answer 1

La imagen no está destinado a ser tomado demasiado literalmente - es realmente una de 2 dimensiones de la superficie en un 4 (real) de espacio tridimensional. Los puntos de $(X,Y)$ donde $X^2 + Y^2 = 1$ $X$ $Y$ son de forma real el "ecuador", que en realidad es un círculo. Todos los otros puntos son complejas. Complejo de conjugación ($X \to \bar{X},\ Y \to \bar{Y}$) de los mapas de la superficie a sí mismo, dejando a los verdaderos puntos fijos. La superficie no es compacto, pero puede ser compactified mediante la adición de puntos en el infinito.

Answer 2

La ecuación de $x^2+y^2 = 1$ define una superficie en $\mathbb{C}P^2$ que es homeomórficos a una esfera. El círculo unidad $x^2 + y^2 = 1$ $\mathbb{R}^2$ se encuentra en esta esfera, y puede ser pensado como el ecuador. Complejo conjugación actúa como un reflejo de esta esfera, con el real círculo de ser el espejo de la reflexión. La mayoría de los puntos en la superficie se encuentran en $\mathbb{C}^2$, pero la superficie también contiene dos puntos en el infinito, es decir, los puntos con coordenadas homogéneas $[1:i:0]$$[1:-i:0]$.

Answer 3

Esta superficie es diffeomorphic a la cotangente del paquete del círculo $T^*S^1$ como se muestra en la siguiente construcción explícita:

La cotangente del paquete del círculo se puede parametrizar como una superficie en $\mathbb{R}^4$ como sigue:

$ u_1^2+u_2^2 = 1 $

$ u_1v_1+u_2v_2 = 0$

Por supuesto, la primera ecuación es la ecuación de la circunferencia, mientras que el segundo expresa la ortogonalidad de la radio y la tangente de los vectores.

La primera ecuación puede ser parametrizado por: $u_1 = cos(\theta)$, $ u_2 = sin(\theta)$, podemos definir $\rho = v_2 u_1 - u_2 v_1$, entonces la transformación:

$X = cos(\theta + i \rho)$

$Y = sin(\theta + i \rho)$

llevar a que el resultado requerido: $X^2 + Y^2$ = 1. En fin a ver que esta transformación es invertible, (por lo tanto constituye un diffeomorphism), tenga en cuenta que:

$XY = \frac{sinh(2\rho)}{2}+i cosh(2\rho)u_1 u_2$

La definición de $\rho$ elegido es tal que las coordenadas $\rho$ $\theta$ considera como funciones en $\mathbb{R}^4 \equiv T^*\mathbb{R}^2$ son canónicamente conjugadas.

Aquí, el ecuador corresponde a la sección cero $\rho = 0$. Los puntos en el infinito corresponden a:

$\rho = \pm\infty $